抛物线的几何性质.ppt

葡萄美酒夜光杯 欲饮琵琶马上催 如果测量得酒杯杯口宽4cm 杯深8cm 试求出该抛物线方程 引入复习 4cm 8cm 解 如图建立平面直角坐标系 则可知A 2 8 B 2 8 所以设抛物线的方程为 A B点在抛物线上 代入抛物线方程 可得P 则所求的抛物线方程为 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质 它们都是通过标准方程的形式研究的 现在请大家想想抛物线的标准方程 图形 焦点及准线是什么 复习 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 抛物线的简单几何性质 一 抛物线的几何性质 1 由方程y2 2px p 0 而 p 0 由方程可知x0 所以抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 范围 2 由方程y2 2px p 0 以代y 上述方程不变 所以这条抛物线关于x轴对称 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 对称性 顶点 3 定义 抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点 由y2 2px p 0 当y 0时 x 0 因此抛物线的顶点就是坐标原点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 离心率 4 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由抛物线的定义 可知e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 二 归纳 抛物线的几何性质 x轴 x轴 y轴 y轴 新知学习 标准方程中2p的几何意义 F A B y2 2px 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 2p越大 抛物线张口越大 思考 通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗 三 注意 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 练习 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 例1 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 并用描点法画出图形 解 所以设方程为 又因为点M在抛物线上 所以 因此所求抛物线标准方程为 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 作图 1 列表 在第一象限内列表 2 描点 3 连线 O 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程及焦点的位置 F y x O 解 如图所示 在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系 使反光镜的顶点与原点重合 x轴垂直于灯口直径 A B 设抛物线的标准方程是 由已知条件可得点A的坐标是 40 30 代入方程可得 所求的标准方程为焦点坐标为 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 一个正三角形的三个顶点 都在抛物线上 其中一个顶点为坐标原点 则这个三角形的面积为 练习 如图 吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线 宽为7m 高为0 7m 求这条抛物线的方程 y x 易知A 3 5 0 7 将其代入抛物线方程 得 3 5 2 2p0 7 2P 17 5 抛物线的方程为 x2 17 5y 小