第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

第十节变化率与导数、导数的计算考纲传真1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：定义：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0即f(x0) .几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数f(x)的导函数：称函数f(x) 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(a)a32axx2，则f(a)3a22x.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为() 【导学号：31222075】A.B.C.D.D由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.3(2016天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.4(2016豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_5xy20y5ex，所求曲线的切线斜率ky5e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.4(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y.解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.规律方法1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导变式训练1(1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0等于()Ae2B1Cln 2De(2)(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(1)B(2)3(1)f(x)2 017ln xx2 018ln x，故由f(x0)2 018，得2 018ln x02 018，则ln x00，解得x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.导数的几何意义角度1求切线方程已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程思路点拨(1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y4，3分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.5分(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为yx，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.7分点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，9分xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.12分角度2求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_ 【导学号：31222076】(e，e)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度3求参数的值(1)已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A2B1CD1(2)(2017西宁复习检测(一)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2 CD.(1)B(2)A(1)设切点坐标为(x0，y0)，y，则y|xx0，由得x01，切点坐标为，又切点在直线yxb上，故b，得b1.(2)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2，故选A.规律方法1.导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.思想与方法1f(x0)是函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性易错与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点课时分层训练(十三)变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为() 【导学号：31222077】A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)Cf(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()AeB1 C1DeB由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.3曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10D3xy10Cycos xex，故切线斜率为k2，切线方程为y2x1，即2xy10.4(2017郑州模拟)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3B2 C1D.B因为y3ln x，所以y.再由导数的几何意义，有，解得x2或x3(舍去)5已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于() 【导学号：31222078】A4B5 C.D.Cf(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所求面积S10.二、填空题6(2017郑州二次质量预测)曲线f(x)x3x3在点P(1,3)处的切线方程是_2xy10由题意得f(x)3x21，则f(1)31212，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y32(x1)，即2xy10.7若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_. 【导学号：31222079】因为y2ax，所以y|x12a1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a10，a.8如图2101，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.图21010由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.三、解答题9求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)y；(3)y.解(1)ynxn1lg xxnxn1.(2)y(x1)(2x2)(x3)x24x33x4.(3)y.10已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解(1)yx24x3(x2)211，2分所以当x2时，y1，y，所以斜率最小的切线过点，4分斜率k1，所以切线方程为xy0.6分(2)由(1)得k1，9分所以tan 1，所以.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016山东高考)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是()Aysin xByln xCyexDyx3A若yf(x)的图象上存在两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f(x1)f(x2)1.对于A：ycos x，若有cos x1cos x21，则当x12k，x22k(kZ)时，结论成立；对于B：y，若有1，即x1x21，x0，不存在x1，x2，使得x1x21；对于C：yex，若有ex1ex21，即ex1x21.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y3x2，若有3x3x1，即9xx1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A.2(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_2xy0设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.3已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同