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结构优化设计 南京航空航天大学飞机设计技术研究所 1 第四章准则法设计 2 满应力设计 所谓满应力是指元件中的应力达到了材料的许用应力 在这种情况下 材料达到充分利用的程度 即所谓等强度设计 许用应力 可以是材料的破坏极限值或弹性极限值或稳定临界应力值或疲劳限制值 在多种载荷条件下 满应力设计任务是使结构中每一个元件至少在一种载荷条件下达到满应力 3 杆系结构的例子 用杆的截面积作为设计变量 目标函数为杆系结构的重量 满足应力约束条件 尺寸约束条件 若按满应力的原始思想 即每一个元件至少在一种载荷条件下达到许用应力 才算满应力设计 4 二杆静定桁架结构的受力分析 5 节点载荷和杆单元内力的平衡关系 6 对于静定结构 杆单元的内力大小主要取决于外载荷和杆的构型 对于一个给定结构 杆单元的应力主要取决于杆单元面积 假设结构中各个杆单元的面积为 那么每个杆的应力为 7 对于某一个特定的节点位移 可以引入一个常数向量 这个向量在第j个位置上为1 其它位置上都为0 对于2杆桁架结构 8 二杆静定桁架结构的应力优化 优化模型 寻找一组变量 对于静定结构 结构元件的内力与该元件的截面特性无关 所以结构每个元件的应力可以由该元件的内力除以截面积得到 即每个元件的最小面积是 9 如果该元件的截面积没有达到最小面积 可以按下式处理来得到 又可以称为应力比 假设上述的角度 如果要求结构的重量最轻 且结构单元的应力不得超过其上下限 那么由该约束得到的优化条件为 10 从上式可以看到 该问题是线性的 一个设计变量仅和一个约束条件有关 而最轻的重量 即最佳设计点 是在这些约束条件的交点上 因此该问题的优化设计 不是直接去寻找最轻的重量 而是转化为寻求同时满足约束条件的设计点 尽管该问题是静定的 但是对于静不定结构 也同样可以按该方法进行优化 即把寻找最轻重量转化为寻找能同时满足约束条件的设计点 11 此外 也可以对设计变量进行一种倒变量变换的技术 这样约束条件就可以转化为线性函数 而目标函数变成如下形式 对于2杆桁架结构 其应力约束条件可以变化为 12 13 比例满应力设计 直接由满应力约束等式得应力比调参公式 1 若 i 1说明元件应力超过了许用应力 2 若 i 1说明元件应力尚未达到许用应力 按上式调参 设计变量相应于 i的值放大或缩小 以此来改变元件的应力状态大小 14 初始设计 结构有限元分析 形成应力矩阵 k 1 求应力比矩阵 求最大应力比列阵 调整设计变量 计算结构重量W 收敛性判别 输出结果 停机 k k 1 No Yes 比例满应力设计框图 15 静定桁架的设计 单一载荷情况 7000Kg cm2 3500Kg cm2Ximin 0 8cm2 7 85 10 3Kg cm3Xi 0 1cm2 由于是静定结构 又只有一种载荷 由平衡条件便可求出其内力 应力 应力比以及按应力比求得的新设计 该结果即为满应力设计 同时也是最优设计 16 静定桁架的设计 多组载荷情况 一次迭代成功 并且每个元件在一种载荷下达到满应力 该设计同时也是最优设计 17 静不定桁架设计 三杆构架 18 19 20 21 22 由图上可看出 最优点应在约束g1 X 上 按K T条件 比例满应力设计结果X 1 0 1 T W 2 828427lb这个结果不是最优设计 并且X2退化为0 变为静定结构 23 结论 1 对应力等式约束 i i 0 i 1 m从几何意义上看 m个方程 求解m个未知量 满应力设计点必落在m个约束超平面的交线上 从数学规划理论分析 若问题为线性 最优解是落在超平面的交线上 若问题为非线性 则最优解就不一定落在交线上 2 对静定结构 问题为线性 满应力设计 最优设计 对静不定结构 问题为非线性 满应力设计 最优设计 3 目标函数在比例满应力设计迭代中没起任何作用 4 对静不定结构采取了线性规划求解方式 在没有最小尺寸约束的条件下 必退化为静定结构 而且退化结果不是唯一的 随着静不定度越高 受载情况越复杂 退化形式越是多种多样 5 要使满应力设计与最轻重量设计联系起来 则应将约束条件改成不等式 即 24 改进满应力设计 1 把等式约束改为不等式约束 2 对初始点进行结构分析 求出各元件的应力及应力比 从中找出 最临界约束 比 max 3 对所有元件均按 max进行 射线调参 使设计点落到最临界约束边界上来 4 计算最临界约束边界上这一点的目标函数值 即结构重量 并同前一次边界上的目标函数值进行比较 当前目标函数值小于前一次的 则可继续迭代 否则就终止迭代 这样 便把目标函数值与优化问题直接联系上了 5 两次射线调参中间仍按比例满应力调参一次 使设计点离开约束边界 便于下一次射线调参 I 改进措施和调参步骤 25 引进的两个重要概念 1 最临界约束 Themostcriticalconstraint每一次迭代过程中 总可以找到一个约束是处在最危险状态 或称为最临界状态 即该约束最靠近约束边界等值线 称该约束为最临界约束 2 射线调参 Modifythevariablesalongaray在调整设计变量时 所有元件均按最临界约束比来调参 而设计点正好落在坐标原点和原设计点连线与最临界约束边界的交点上 此称为射线调参 26 讨论 1 射线调参中适用于刚度矩阵与设计变量成线性关系的元件所组成的结构 经射线调参后的设计点X 不需要经过结构分析 便可由前一点已知数据按比例求得 2 射线调参方向一定是坐标原点与前一个设计点连线方向 即由坐标原点到前一点连线的斜率与它到射线调参后的设计点连线的斜率是相等的 3 还可证明 射线调参后的设计点X 必落在OX与最临界约束的交点上 4 表面上看 似乎改进满应力设计调参所走的锯齿形路线比原来用比例满应力设计还曲折 但实际上 由于增加了射线步调参 并把目标函数的变化与调参中设计变量的变化联系起来 从而大大减少迭代次数 使迭代过程收敛很快 27 初始设计 结构有限元分析 0 求应力比矩阵 求应力比列阵 求最大应力比 max 射线步调参Xi 1 maxXi 若Xi 1 Ximin则Xi 1 Ximin 计算结构重量W 1 收敛性判别W 1 W 停机 求应力比列阵 i 1 i max 比例满应力设计Xi 2 i 1 Xi 1 若Xi 2 Ximin则Xi 2 Ximin 2 W W 1 Yes No 28 29 结论 1 运用数学规划理论对原满应力设计原理加以改造 设计结果接近最优解 但无严格证明 只是一个相对近似值 2 原理简单 容易接受 计算方便 适于推广应用 3 收敛快 且收敛速度与设计变量数目多少关系不大 4 对初始位置选取有一定要求 不能在最优点下方 5 只适用于应力约束 对不同材料的元件在一起用改进满应力设计有一定困难 要进行相应处理 30 二杆静定桁架结构的位移优化 对于带位移约束的优化问题描述如下 对于上式 该问题是非凸的 可能存在局部极小值点 从而使得求解带来困难 31 32 如果把设计变量换成倒变量 其优化问题的描述如下 33 34 用最优性准则作结构优化设计 最优性准则法是结构优化设计方法中应用较广泛的一类方法 最早起源于满应力设计 60年代末70年代初 有人运用K T条件建立了以位移约束为对象的位移准则法 后来 又有人把K T条件推广运用到其它约束条件上 从而形成了一种类型的优化方法 最优性准则法 OptimalityCriteria 简称O C 法 最优性准则法大多根据一定的约束条件 用力学理论推导出各自应遵循的准则 满足这些准则的设计被认为是最优设计 所以 最优性准则法又称为间接优化设计 因为它们并不像规划法那样直接处理目标函数 35 优点 收敛快 迭代次数与设计变量多少关系不大 有广泛实用价值 局限性 只能针对一定的约束条件 单一约束类型 优化的目标一般仅限于结构重量 是一种间接优化技术 只能获得近似最优解 带应力 位移和最小尺寸约束的优化设计问题 可表述为 36 在位移准则法中一般把满应力设计结果作为元件的最小尺寸 不得小于它 即在满应力设计基础上 进行位移准则设计 则上式简化为 37 单一位移约束下的最优性准则 如前所述 若把应力约束和尺寸约束让满应力设计去处理 则对位移约束 可导出应遵循的准则 单一位移约束下的拉氏乘自函数为L X W X u u 另外 由虚功原理可求出结构中任一点的真实位移为 38 根据后面将要说明的原因 我们把各元件分为两大类 主动元件 Activeelement 和被动元件 Passiveelement 相应地 设计变量也就有主被动设计变量之分 被动元件在位移约束优化中不起作用 可当作常数 39 同样 目标函数也分成主被动元两部分 由此 拉氏乘子函数可写为 根据K T条件 有 对静定结构 内力与设计变量无关 上式是正确的 对静不定结构 在准则法中 在每次迭代中 可以近似为静定结构性质 内力对变量的变化可以忽略 40 该式即为 位移准则 它表明 在最优点上 位移约束对所有主动元件的偏导数与目标函数对主动元的偏导数之比均等于同一常数 物理意义 每个主动元内的虚应变能密度均等于同一常数 由上式可导出设计变量的递归关系式对所有主动元 41 欲由上式求出Xj 关键是要已知 将上式代入位移公式中 并假设X 1 已满足u u 对静定结构 只需要一次迭代便可获得最优解 对静不定结构 上式为近似关系式 要多次迭代才能求解 42 主被动元件的确定原则 位移准则仅对主动元有效 被动元由其它约束条件而定 43 一般位移准则法的设计程序框图 44 例4 1八杆构架 静定结构 1 满应力设计 一次迭代 2 位移准则设计 2 5 6杆为被动元 给定位移约束u3y 7mm 45 满应力设计结果W X 2391 726Kg 46 位移准则设计结果W X 8876 4Kg u3y 7 005mm 47 例4 2三杆构架u 1y 0 01in 48 三杆构架位移准则法迭代表 49 三杆构架位移准则法迭代路线图 50 该例可用K T条件直接求解 已知最优点处的约束为u1y u 1y 0 1 1 0运用K T条件 有 51 多位移约束下的最优性准则 多位移约束下L X W X j uj uj 由K T条件 同样可导出多位移约束下的位移准则 按照K T条件 对应最优点处的所有有效约束 j 0 非有效约束 j 0 从而 对所有位移约束均有 j uj uj 0 j 1 m 同样 多个位移约束在多组载荷情况下也可导出其位移准则 52 设计变量的递归关系式 53 拉氏乘子的递归关系式 用约束方程表达 所有约束均假设为等式约束 则 运用上式求 j 1 时 基础是要假设 j 的第一次迭代值 但不划分有效和无效约束 迭代过程中自动地消去无效约束 其相应 j 0 54 一种新的最优性准则法 在位移准则中 引进 最临界约束 概念 采用 射线调参 的方法将设计点拉到最临界约束边界上 然后按单一位移约束下的位移准则设计 按最临界约概念 认为每次迭代时 总可以找到一个位移约束是最大的 或最临界的 约束 也可能同时有多个位移约束同时处在最临界状态 但仍可只取其中一个为最临界约束 假设第g个约束在某一载荷情况下为最临界位移约束 在此 通过射线调参 将设计点拉到该约束边界上 并假设此时已获得最优解 则可应用K T条件 55 W0和u0是考虑被动元在位移准则设计时不起作用 按照前面一样的做法 先要分清主被动元 这便是新的最优性准则 56 将新的最优性准则式两边同乘以XiR 取第R个根 形成递归迭代公式 如果设计变量采用变量连接 即ND个元件有着相同的设计变量Xi 则 57 同一般位移准则法的比较 1