空间图形的基本关系与公理课件

空间图形的基本关系与公理 提出问题 1 用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定 Why 2 将一把直尺置于桌面 通过是否漏光就能检测桌面是否平整 Why 3 椅子放不稳 是底面不平还是椅子本身的问题 4 为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚 观察长方体 你能发现长方体的顶点 棱所在的直线 以及侧面 底面之间的位置关系吗 空间点 直线 平面的位置关系 问题 长方体由上下 前后 左右六个面围成 有些面是平行的 有些面是相交的 有些棱所在直线与面平行 有些棱所在直线与面相交 棱所在的直线有些平行有些相交 还有些异面 等等 空间图形的基本关系 点与直线的位置关系有两种 点在直线上和点不在直线上 点与平面的位置关系有两种 点在平面内和点在平面外 两条直线的位置关系有三种 平行 相交和异面 直线与平面的位置关系有三种 包含 相交和平行 平面与平面的位置关系有两种 相交和平行 平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形 用平行四边形表示平面 平行四边形的锐角通常画成45 且横边长等于其邻边长的2倍 斜二测画法 被遮挡部分用虚线表示 平面的画法 为了增强立体感 常常把被遮挡部分用虚线画出来 平面的表示 平面 常把希腊字母 等写在代表平面的平行四边形的一个角上 如平面 平面 等 也可以用代表平面的四边形的四个顶点 或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称 A 1 点与平面的位置关系 平面内有无数个点 平面可以看成点的集合 点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于 不属于符号来表示 A l 点A在直线l上 点A在直线l外 直线l在平面外 直线l在平面内 平面经过直线l 2 点与直线的关系 3 直线与平面的位置关系 共面直线 异面直线 相交 平行 有且只有一个公共点 没有公共点 不同在任一平面 无公共点 空间两条直线的位置关系 若两条直线没有公共点 则这两条直线异面或平行 怎么画异面直线呢 o 异面直线的作图方法1 A B 异面直线的作图方法2 a b 1 平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 答 错 b 例1 判断题1 a 4 例题 a与b是相交直线 a与b是平行直线 a与b是异面直线 答 不一定 它们可能异面 可能相交 也可能平行 分别在两个平面内的两条直线一定异面 判断题2 NEXT BACK 注2 在不同平面内的两条直线不一定异面 例2 1 a b是异面直线 是指 a b 且a不平行于b a 平面 b 平面 且a b a 平面 b 平面 不存在平面 能使a 且b 成立上述结论中 正确的是 A B C D C 下图长方体中 平行 相交 异面 BD和FH是直线 EC和BH是直线 EB和HG是直线 说出以下各对线段的位置关系 NEXT BACK 例3 O 方法二 特点 两条直线既不相交 又不平行 方法一 利用定义 两条直线不同在任何一个平面内 2 判别异面直线的方法 NEXT BACK 5 两个平面的位置关系 没有公共点 1 两平面平行 有一条公共直线 2 两平面相交 实际生活中 我们有这样的经验 把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上 可以看到 直尺的整个边缘就落在了桌面上 思考 如果直线l与平面 有两个公共点 直线l是否在平面 内 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线所有的点都在这个平面内 即直线在此平面内 A B 公理 在生产 生活中 人们经过长期观察与实践 总结出的一些公认为正确的规律 我们把它作为公理 这些公理是进一步推理的基础 生活中经常看到用三角架支撑照相机 为什么 公理2过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 存在性 唯一性 作用 确定平面的主要依据 不在一条直线上的三个点A B C所确定的平面 可以记成 平面ABC 思考题 过一条直线和直线外的一点可以确定几个平面 过两条相交直线 可以确定几个平面过两条平行直线可以确定几个平面 公理2的推论1过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 公理2的推论1 过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 证 存在性 唯一性 在l上任取两点B C 则A B C不共线 由公理3 经过不共线的三点A B C有一个平面 因为B C在平面内 所以根据公理1 直线l在平面内 即是经过直线l和点A的平面 因为B C在直线l上 所以任何经过l和点A的平面 一定经过A B C 于是根据公理3 经过不共线的三点A B C的平面只有一个所以经过l和点A的平面只有一个 由公理3 经过不共线的三点A B C有一个平面 平面的性质 推论2 即 两条相交直线确定一个平面 过两条相交直线有且只有一个平面 平面的性质 推论3 即 两平行直线确定一个平面 过两条平行直线有且只有一个平面 C B A 把三角板的一个角立在课桌面上 三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B 为什么 B 思考 把三角板的一个角立在课桌面上 三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线 为什么 思考 平面的无限可延展性 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 判断点在直线上 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行 1 已知直线a b c 且a b b c 则a c 2 空间平行直线具有传递性 3 互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向 理解 a b c A B C D E F G G 例1如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 1 2 解 在 1 中 在 2 中 典型例题 例2 如图 已知三角形ABC在平面外 求证 PQR三点共线 A B P R Q C 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 直线在平面内 错误 随堂训练 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 由点A O C可以确定一个平面 错误 随堂练习 在正方体中 判断下列命题是否正确 并说明理由 由确定的平面是 由确定的平面与由确定的平面是同一个平面 正确 正确 随堂练习 课堂练习 一扇门用两个合叶和一把锁就可以固定了 你知道其中的道路吗 M为直线l上的点 且不在平面内 则l与 的公共点最多有 过已知直线外一点最多可做几条直线和已知直线平行 给你六根火柴棒 最多能做几个等边三角形 你做出的图形有几个顶点 条棱 公理2 一个 一条 是正四面体 40 知识探究 等角定理 思考1 在平面上 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角的大小有什么关系 41 思考2 如图 四棱柱ABCD A B C D 的底面是平行四边形 ADC与 A D C ADC与 B A D 的两边分别对应平行 这两组角的大小关系如何 42 思考3 如图 在空间中AB A B AC A C 你能证明 BAC与 B A C 相等吗 43 思考4 综上分析我们可以得到什么规律 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 思考5 上面的定理称为等角定理 在等角定理中 你能进一步指出两个角相等的条件吗 角的方向相同或相反 1 两个平面重合的条件是 A 有两个公共点B 有无数个公共点C 存在不共线的三个公共点D 有一条公共直线 巩固练习 2 下列命题中 真命题是 A 空间不同三点确定一个平面B 空间两两相交的三条直线确定一个平面C 两组对边相等的四边形是平行四边形D 和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 c 3 空间有四个点 其中任意三点不共线 可确定 个平面 一个或四个 D 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点O作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 锐角 或直角 47 例1如图 空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 1 求证 四边形EFGH是平行四边形 2 若AC BD 那么四边形EFGH是什么图形 48 例2如图是一个正方体的表面展开图 如果将它还原为正方体 那么AB CD EF GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对 例3 在正方体中求作下列截面 4 下列说法中 正确的是 首尾相接的四条线段在同一个平面内 三条互相平行的线段在同一个平面内 两两相交的三条直线在同一个平面内 若四个点中的三个点在同一条直线上 那么这四个点在同一个平面内 若A l A B l B 则l 若A A B B 则 AB 若l A l 则A 解析 错误 空间四边形四条边不在一个平面内 错误 如三棱柱的三条侧棱不能共面 错误 如从正方体一个顶点出发的三条棱不共面 正确 由公理2的推论可知 正确 由公理1可知 正确 由公理3可知 两个平面的公共点都落在交线上 错误 若l A 则A 答案 2010 江苏南京 如图 已知 E F