西南大学附中2019-2020学年度上期期中考试高2021级高二上期中数学试题(含答案).doc

西南大学附中20192020学年度上期期中考试高二数学试题（全卷共150分，考试时间为120分钟）注意事项：1 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2 答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上4 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 经过点A(2,0)与B(0,1)的直线方程为（ ）A. x+2y-2=0B. x+2y-1=0C. x-2y-2=0D. x+2y=02. 已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，直线3x+2y-4=0过抛物线的焦点，则抛物线方程为（ ）A. y2=4xB. x2=8yC. y2=8xD. x2=4y3. 若ax2+by2+cxy+2ax-4by+a3=0表示面积为的圆的方程，则实数a的值为（ ）A. 2B. 2C. 1D. 14. 方程ax2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）A. a1B. 0a1D. 1a0,b0)的离心率为3，则点 (3，0) 到双曲线C渐近线的距离为（ ）A. 355B. 3C. 322D. 66. 已知圆C1:(x+2)2+y2=1与圆C2:(x-a)2+y2=4相交，则实数a的取值范围是（ ）A. 3a5B. -5a-3C. -1a1或-5a-3D. -1a1或3a0)，若过点C(4,0)的直线与抛物线交于A、B两点，且OAOB（其中O为坐标原点），则p的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 7 D. 与直线AB的斜率有关8. 方程x2+y2-4x+4=9-x2+y2-4y+4对应的曲线为（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 射线9. 下列命题错误的是（）y=x与y2=x表示的是同一条抛物线；所有过原点的直线都可设为y=kx；若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则必有D2+E2-4F0椭圆x2+4y2=8的短轴长为2A. B. C. D. 10. 为迎接祖国“70岁”生日，某画家准备在一个外形为半个椭圆的墙面上开辟一个矩形墙面MNST作画，如图，已知AO=OB=5米，OC=3米，OCAB，则该画家能够作画的最大面积是（ ）A. 10平方米B. 103平方米C. 15平方米D. 102平方米11. 已知A(1,4)，点P为抛物线y2=12x上一动点，点P到直线x=-2的距离是d，则PA+d的最小值为（ ）A. 25-1B. 25+1C. 25D. 312. 双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1,A2，B为虚轴的上顶点，若直线BF2上存在两点Pi(i=1,2)使得A1PiA2Pi(i=1,2)，且过双曲线的右焦点F2作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则双曲线离心率的范围是（ ）A. 3e5B. 2e5C. 3e1+52D. 2eb0)的右焦点，且其短轴长42，若A(a2c,0)点满足FO+2FA=0(其中点O为坐标原点)(1) 求椭圆的方程；(2) 若斜率为1的直线与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点B，若点P是线段BQ的中点，求该直线方程；若l1/l2，求实数a的值；19. (12分) 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)与双曲线x216-y24=1有相同的渐近线，且双曲线C过点(4,3)(1) 若双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，使得F1PF2=60，求F1PF2的面积；(2) 过双曲线C的右焦点F2作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若F1AB的周长是403，求直线l的方程20. (12分) 若圆O：x2+y2=r2(r0)的内接矩形的周长最大值为82(1) 求圆O的方程；(2) 若过点P(1,0)的直线l与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线l的斜率k-3,3，求1AP+1BP的取值范围21. (12分) 已知抛物线E：y2=2px(p0)焦点F，过点F且斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点，且AB=5(1) 求抛物线E的方程；(2) 设O是坐标原点，P，Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OPOQ=94证明：直线PQ必过定点，并求出定点G的坐标；过G作PQ的垂线交抛物线于C，D两点，求四边形PCQD面积的最小值22. (12分) 已知圆O1：(x+3)2+y2=16，A为圆O1上任意一点，点D在线段O1A上B(3,0)，已知BC=CA，DCAB=0(1) 求点D的轨迹方程H；(2) 若直线y=kx+m与方程H所表示的图像交于E，F两点，Gx0,y0是椭圆x28+y22=1上任意一点若OG平分弦EF，且my0-1，SGEF=1，试判断四边形OEGF形状并证明西南大学附中20192020学年度上期期中考试高二数学试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分 15 ABBCD 610 CAADC 1112 AD 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分133 14(x+12)2+(y-52)2=132 153x+12y-20=0 162 三、解答题：共70分 17. (1) l1l2，2a+2=-a,a=-23； (2) 设Q(m,n)，P(1,2),Q(m,n)关于2x-y-1=0对称，n-2m-12=-12m+12-n+22-1=0，解得m=95n=85，Q(95,85)代入l2得：a95+(a+1)85+2=0，a=-1817.18解：(1) 由题意知：F(c,0)，FO+2FA=0，(-c,0)+2(a2c-c,0)=(0,0)，-c+2(a2c-c)=0，由a2=b2+c22b=42-c+2a2c-c=0，解得a=26b=22，椭圆方程为：x224+y28=1；(2) 设直线l为：y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),B(0,m)，联立y=x+mx224+y28=1，得4x2+6mx+3m2-24=0，x1+x2=-3m2x1x2=3m2-244，P为BQ中点，x2+02=x1，即x2=2x1，代入得：x1+2x1=-3m2x12x1=3m2-244，解得：m=26，经检验m=26时，直线l的方程为y=x26.19.解：(1) 设双曲线C：x216-y24=，点(4,3)代入得：=14双曲线C：x24-y2=1在PF1F2中，设|PF1|=m,|PF2|=n，|m-n|=4cosF1PF2=m2+n2-202mn=12，由得：(m-n)2+2mn-20=mn，16+2mn-20=mn，mn=4，SPF1F2=12mnsin60=3；(2) CF1AB=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF2|+2a+|BF2|+2a+|AB|=8+2|AB|=403|AB|=83，1当直线AB斜率不存在时，|AB|=1，不符合题意（舍）2当直线AB斜率存在时，设AB：y=k(x-5)联立：y=k(x-5)x24-y2=1,(4k2-1)x2-85k2x+20k2+4=0，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k216k2+16|4k2-1|=4(k2+1)|4k2-1|=83，解得：k=1，此时0，直线l方程：y=x-5或y=-x+5.20.解：(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x 0，y 0)，则x2+y2=r2，C矩形=4(x+y)，2(x2+y2)(x+y)2，x+y2r，4(x+y)42r，当且仅当x=yx+y=rx0,y0,x=22ry=22r取“=” (C矩形)max=42r=82，r = 2，圆O的方程：x2+y2=4(2) 设直线AB：y=k(x-1)，A(x1,y1),B(x2,y2) ,联立：x2+y2=4y=k(x-1), 消去y并整理得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0，x1+x2=2k2k2+1,x1x2=k2-4k2+1，AP=(x1-1)+y1=1+kx1-1，同理：|BP|=1+k2|x2-1|APBP=(1+k)(x1-1)(x2-1)=(1+k)x1x2-(x1+x2)-1=(k2+1)-3k2+1=3，(x1-1)(x2-1)=-3k2+1|O1B|，D的轨迹是以O1(-3,0),B(3,0)为焦点的椭圆，且2a=4，2a=4c=3b2+c2=a2，解得a=2b=1c=3，点D轨迹方程H：x24+y2=1；(2) 联立y=kx+mx2+4y2-4=0，(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0，设E(x1,y1),F(x2,y2)，OG平分EF，由中点弦公式有ky0x0=-14，|EF|=k2+1|x1-x2|=4k2+14k2+14k2+1-m2，又G到EF距离为h=|kx0-y0+m|k2+1，SGEF=12|EF|h=2|kx0-y0+m|4k2+14k2+1-m2，利用以及x02+4y02=8有SGEF=2|m-2y0|2y022y02-m2=1，化为(2-m2y02)(2-my0)2=1，令my0=t，则(2-t