第11讲 事件的独立性 (I) 独立性的概念与性质

四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 3 1 6 独立性独立性 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 4 四川大学四川大学 第第11讲讲 事件的独立性事件的独立性 I 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 5 一一 独立性的概念与性质独立性的概念与性质 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 6 设设A B是试验是试验E的两个事件的两个事件 当当P A 0时时 可以定义条件概率可以定义条件概率 P AB P B A P A 一般地一般地 A的发生对的发生对B的发生的概率是有影响的的发生的概率是有影响的 即一般地即一般地 P B AP B 例如例如 掷一颗骰子掷一颗骰子 观察其点数观察其点数 设设A 点数大于点数大于3 B 点数为偶数点数为偶数 4 5 6 A 则则 2 4 6 B 4 6 AB P A 3 6 1 2 P B P B A 2 3 A中有中有2个偶数个偶数 P BA P A 2 6 3 6 P B AP B 在在A发生的条件发生的条件 下下 B发生的概发生的概 率增加了率增加了 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 7 设设A B是试验是试验E的两个事件的两个事件 当当P A 0时时 可以定义条件概率可以定义条件概率 P AB P B A P A 一般地一般地 A的发生对的发生对B的发生的概率是有影响的的发生的概率是有影响的 即一般地即一般地 P B AP B 因此因此 只有在只有在A的发生不会影响的发生不会影响B发生概率时发生概率时 才会有才会有 P B A P B 由乘法公式由乘法公式 这时有这时有 P AB PPBAA P A P B 积事件的概率等于概率的积积事件的概率等于概率的积 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 8 例如例如 在在抛甲抛甲 乙两枚硬币的试验中乙两枚硬币的试验中 设设A 甲币出现正面甲币出现正面 B 乙币出现正面乙币出现正面 样本空间样本空间 A中中2个样本点有个样本点有1个属于个属于B HH HT TH TT S HH HT BABA HH TH HH P A 2 4 1 2 P B P AB 1 4 P B A 1 2 或者或者 P B A P AB P A 1 4 1 2 1 2 P B AP B P ABP A P B 有有 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 9 例如例如 在在抛甲抛甲 乙两枚硬币的试验中乙两枚硬币的试验中 设设A 甲币出现正面甲币出现正面 B 乙币出现正面乙币出现正面 样本空间样本空间 HH HT TH TT S HH HT BABA HH TH HH P A 1 2 P B P AB 1 4 1 2 P B A 事实上事实上 由题意由题意 甲币是否出现正面与乙甲币是否出现正面与乙 币是否出现正面是互不影响的币是否出现正面是互不影响的 所以条件概率所以条件概率 P B A 就等于无条件概率就等于无条件概率P B 此时此时 我们说我们说 事件事件A与与B是是相互独立的相互独立的 P B AP B P ABP A P B 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 10 定义定义 独立性独立性 设设A B是两个事件是两个事件 如果它们满足等式如果它们满足等式 P AB P A P B 则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立 简称简称A B独立独立 直观地讲直观地讲 两个事件相互独立是指一个事件发两个事件相互独立是指一个事件发 生的概率不受另一个事件发生与否的影响生的概率不受另一个事件发生与否的影响 以下定理说明了这个事实以下定理说明了这个事实 定理一定理一 设设A B是两个事件是两个事件 且且P A 0 则则A B 独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是 P B A P B 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 11 如果如果P AB P A P B 则称则称A B独立独立 定理一定理一 设设A B是两个事件是两个事件 且且P A 0 则则A B 独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是 P B A P B 证证 充分性充分性 设设P B A P B P AB PPBAA P A P B A B独立独立 必要性必要性 设设A B独立独立 即即 P AB P A P B P B A P AB P A P A P B P A P B 已知条件已知条件条件概率条件概率 乘法公式乘法公式已知条件已知条件 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 12 事件独立与互斥的关系事件独立与互斥的关系 如果如果P A 0 P B 0 则则A B独立独立 与与A B互斥不能同时成立互斥不能同时成立 因为因为A B独立时独立时 有有P AB P A P B 0 而而A B互斥时互斥时 有有AB 得得 P AB P 0 BA A与与B互斥互斥 例如例如 1 2 3 4 S 1 A 2 3 B AB P A P B 12 44 A与与B不独立不独立 1 8 P AB 0 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 13 独立性是事件之间的概率属性独立性是事件之间的概率属性 而事件互斥是而事件互斥是 指事件之间本身的关系指事件之间本身的关系 不涉及概率不涉及概率 我们说两个事件相互独立我们说两个事件相互独立 是指一个事件出现是指一个事件出现 的概率与另一个事件是否出现没有关系的概率与另一个事件是否出现没有关系 而两个事件互斥而两个事件互斥 不相容不相容 是指一个事件出是指一个事件出 现必然导致另一个事件不出现现必然导致另一个事件不出现 从而一个事件从而一个事件 的出现与另一个事件是否出现密切相关的出现与另一个事件是否出现密切相关 从而两个互斥事件一般不是独立的从而两个互斥事件一般不是独立的 或者说或者说 两个独立的事件一般不是互斥的两个独立的事件一般不是互斥的 事件独立与互斥的关系事件独立与互斥的关系 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 14 零概率事件与任何事件是相互独立的零概率事件与任何事件是相互独立的 事实上事实上 设设 P A 0 则则 P AB 0 有有 P AB 0 P A P B A与与B相互独立相互独立 ABA 概率为概率为1的事件与任何事件是相互独立的的事件与任何事件是相互独立的 1 0P AP A 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 15 注意注意 若若ABS P B A 则则A与与B不可能独立不可能独立 因为因为A发生必然导致发生必然导致B发生发生 1 所以所以 P B B A S ABS P B A P BA P A P A P A 1 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 16 定理二定理二 若事件若事件A与与B相互独立相互独立 则以下各对事件则以下各对事件 也相互独立也相互独立 AB与AB 简单地说简单地说 如果两个事件相互独立如果两个事件相互独立 则其中一则其中一 个事件与另一个事件的对立事件也相互独立个事件与另一个事件的对立事件也相互独立 证证 要从要从 P ABP A P B 推出推出 P ABP A P B P AB P AB P AP AB P AP A P B 1 P AP B P A P B 减法公式减法公式 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 17 定理二定理二 若事件若事件A与与B相互独立相互独立 则以下各对事件则以下各对事件 也相互独立也相互独立 AB与AB与AB与 同理同理 A B与 相互独立相互独立 由此由此A与与B的对立事件也相互独立的对立事件也相互独立 即即 AB与 相互独立相互独立 事实上事实上 以下四个条件是等价的以下四个条件是等价的 1 AB与独立 2 AB与独 3 AB与独立 4 AB与独立 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 18 定理二定理二 若事件若事件A与与B相互独立相互独立 则以下各对事件则以下各对事件 也相互独立也相互独立 AB与AB与AB与 B B A A 独立独立 独立独立 独立独立 独立独立 互斥互斥 互斥互斥 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 19 下面将事件的独立性推广到多个事件下面将事件的独立性推广到多个事件 三个事件三个事件A B C相互独立相互独立是指是指 1 它们两两独立它们两两独立 2 P BC P B P C P AC P A P C P AB P A P B P ABC P A P B P C 若三个事件若三个事件A B C相互独立相互独立 则它们一定两则它们一定两 两独立两独立 但它们两两独立未必相互独立但它们两两独立未必相互独立 因因 为条件为条件 1 一般推不出条件一般推不出条件 2 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 20 若三个事件若三个事件A B C相互独立相互独立 则它们一定两则它们一定两 两独立两独立 但它们两两独立未必相互独立但它们两两独立未必相互独立 因因 为条件为条件 1 一般推不出条件一般推不出条件 2 反例反例 设样本空间设样本空间 1 2 3 4 S 1 2 A 1 3 B 1 4 C 则则 ABBC AC ABC P A P B P C 1 1 2 P AB P BC P AC 1 4 P ABC P ABP A P B P BCP B P C P ACP A P C P ABCP A P B P C 事件事件 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 21 n 个事件个事件A1 A2 An 相互独立相互独立是指是指 对其中任意对其中任意 k 2 k n 个事件个事件 有有 12 k nnn AAA 1212 kk nnnnnn P A AAP AP AP A 显然显然 若一组事件相互独立若一组事件相互独立 则其中任意部分事件也是相互独立的则其中任意部分事件也是相互独立的 独立事件组缩小后仍然是独立事件组独立事件组缩小后仍然是独立事件组 类似于类似于线性无关组线性无关组缩小后仍是无关组缩小后仍是无关组 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 22 命题命题 1 设设A1 A2 An 相互独立相互独立 则则 12 1 m A AA 211 2 mmn A AAAA 相互独立相互独立 相互独立相互独立 121 3 nmm AAAAA 相互独立相互独立 1 是说独立事件组的部分组也是独立事件组是说独立事件组的部分组也是独立事件组 2 是说将独立事件组中的部分事件用是说将独立事件组中的部分事件用对立对立 事件事件替换替换 仍然得到独立事件组仍然得到独立事件组 3 是说独立事件组中的部分事件的是说独立事件组中的部分事件的积事件积事件 与其余事件组成一个独立事件组与其余事件组成一个独立事件组 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 23 命题命题1 设设A1 A2 An 相互独立相互独立 则则 121 3 nmm AAAAA 相互独立相互独立 例如例如 若 若A B C D相互独立相互独立 则则 AB C D也相互独立也相互独立 验验 P AB C P ABC P A P B P C P AB P C AB与与C独立独立 同理同理 AB与与D独立独立 显然显然C与与D独立独立 ABPCD P ABCD P A P B P C P D PP CAPBD 故故 AB C D相互独立相互独立 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 24 命题命题1 设设 A1 A2 An 相互独立相互独立 则则 121 3 nmm AAAAA 相互独立相互独立 由于由于 ABAB ABAB 所以我们得到以下更一般的结论所以我们得到以下更一般的结论 将一个独立事件组分成将一个独立事件组分成m个小组个小组 则这则这m个小个小 组中的事件分别作和组中的事件分别作和 并并 差差 积积 交交 和逆运算和逆运算 得到的得到的m个事件是相互独立的个事件是相互独立的 差和并可以用差和并可以用 积和逆表示积和逆表示 例如例如 若若A B C D相互独立相互独立 则以下各组事件也是相互独立的则以下各组事件也是相互独立的 AB C D AB CD A BC D 四川大学四川大学 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 25 若事件若事件A与与B相互独立相互独立 则有以下运算律则有以下运算律 P AB 独立事件概率运算律独立事件概率运算律 1 积事件积事件 P AB P A P B 定义定义 2 和事件和事件 P AP BP AB P AP BP A P B P AB 1 P AB 1 P A B 1 P ABP A P B 3 差事件差事件 P AB P AB P A P B P ABP A P B A B相互独立 A B 相互独立 四川大学四川大学第11讲 事件的独立性 I 26 若若n 个事件个事件A1 A2 An 相互独立相互独立 则有则有 推导推导 1212 nn P A AAP A P AP A 1212 1 nn P AAAP A P AP A 12 n P AAA 12 1 n P AAA 12 1 n P A AA 12 1 n P A P AP A 12 n A AA 相互独立 独立事件的概率运算律独立事件的概率运算律 定义定义 这个公式极大简化了这个公式极大简化了 和事件的概率运算和事件的概率运算 一个有用的公式一个有用的公式 四川大学四川大学第11讲