角平分线的性质定理和判定.doc

课题11-4角平分线的性质定理和判定学生姓名年级八年级日期2012.9.22冯晓娟第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：平分线上的点；点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高角平分线的定义角平分线的性质定理角平分线的判定定理角平分线的作图第三部分：例题剖析例1. 已知：在等腰RtABC中，AC=BCC=90，AD平分BAC，DEAB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC（2）求DBE的周长分析：（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分BAC，则CD=DE；（2）由（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，C=AED=90，可证ACDAED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB解答：解：（1）AD平分BAC，DEAB，C=90，CD=DE，BC=BD+CD=BD+DE，AC=BC，AC=BD+DE；（2）CD=DE，AD=AD，C=AED=90，ACDAED，AC=AE，AC=BD+DE，BD+DE=AE，BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm例2. 如图，B=C=90，M是BC中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB分析：首先要作辅助线，MEAD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分DAB解答：证明：作MEAD，MCDC，MEDA，MD平分ADC，ME=MC，M为BC中点，MB=MC，又ME=MC，ME=MB，又MEAD，MBAB，AM平分DAB例3. 如图，已知ABC的周长是22，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，ABC的面积是 多少？分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解 解答：解：如图，连接OA， OB、OC分别平分ABC和ACB，点O到AB、AC、BC的距离都相等，ABC的周长是22，ODBC于D，且OD=3，SABC=223=33故答案为：33第四部分：典型例题例1、已知：如图所示，CDAB于点D，BEAC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分BAC，求证：OB=OC证明：BEAC，CDAB，ADC=BDC=AEB=CEB=90AO平分BAC，1=2在AOD和AOE中，ADCAEB12OAOA，AODAOE（AAS）OD=OE在BOD和COE中，BDCCEBODOEBODCOE，BODCOE（ASA）OB=OC【变式练习】如图，已知1=2，P为BN上的一点，PFBC于F，PA=PC，求证：PCB+BAP=180过点P作PEBA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明RtPEA与RtPFC全等，根据全等三角形对应角相等可得PAE=PCB，再根据平角的定义解答解答：证明：如图，过点P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90，在RtPEA与RtPFC中PAPCPEPFRtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180，PCB+BAP=180点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键例2、已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC （1）若连接AM，则AM是否平分BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由 3）CD、AB、AD间？直接写出结果首先要作辅助线，MEAD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分DAB（2）根据平行线性质得出CDA+BAD=180，求出1+3=90，根据三角形内角和定理求出即可（3）证RtDCMRtDEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案解答：（1）证明：作MEAD于E，MCDC，MEDA，MD平分ADC，ME=MC，M为BC中点，MB=MC，又ME=MC，ME=MB，又MEAD，MBAB，AM平分DAB（2）解：DMAM，理由是：DM平分CDA，AM平分DAB，1=2，3=4，DCAB，CDA+BAD=180，1+3=90，DMA=180-（1+3）=90，即DMAM（3）解：CD+AB=AD，理由是：MEAD，MCCD，C=DEM=90，在RtDCM和RtDEM中DMDMEMCMRtDCMRtDEM（HL），CD=DE，同理AE=AB，AE+DE=AD，CD+AB=AD点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等【变式练习】1.如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点 求证：点P在C的平分线上 首先过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可解答：证明：如图，过点P作PMAB，PNBC，PQAC，垂足分别为M、N、Q，P在BAC的平分线AD上，PM=PQ，P在ABC的平分线BE上，PM=PN，PQ=PN，点P在C的平分线点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质用此性质证明它的逆定理成立角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上正确作出辅助线是解答本题的关键例3.如图，在ABC中，BD为ABC的平分线，DEAB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求ABC的面积 过点D作DFBC于点F根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得ABD和BCD的面积即可解答：解：过点D作DFBC于点FBD是ABC的平分线，DEAB，DF=DE=2ABC的面积为12(92+62)15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是ABC的三条边上的点，CE=BF，DCE和DBF的面积相等求证：AD平分BAC首先过D作DNAC，DMAB，分别表示出再DCE和DBF的面积，再根据条件“DCE和DBF的面积相等”可得到12BFDM=12DNCE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分BAC解答：证明：过D作DNAC，DMAB，DBF的面积为：12BFDM，DCE的面积为：12DNCE，DCE和DBF的面积相等，12BFDM=12DNCE，CE=BF，DM=DN，AD平分BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例4.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm（1）在图上标出仓库G的位置（比例尺为1：10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离。（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在NOQ的平分线上；（2）利用图上距离与实际距离的比值进行计算即可解答：解：（1）其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点G在NOQ的平分线上，再用刻度尺量出5cm即可得出G点（2）仓库到铁路的图上距离为5cm，则实际距离为510000=50000cm=500m答：仓库到铁路的实际距离为500m【变式练习】如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离相等，试问：（1） 可选择的地点有几处？（2） 你能画出塔台的位置吗？第五部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CEAB,BDAC,B=C，BF=CF。求证：AF为BAC的平分线。 错误解法：正确解法： CEAB,BDAC（已知） CDF=BEF=90 DFC=BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) DFCEFB(S.S.A.) DF=EF(全等三角形对应边相等) FEAB,FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF为BAC的平分线 错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。第六部分：方法规律（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路第七部分：巩固练习A组一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点2如图，ABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB12cm，则DBE的周长为（）A、12cmB、10cmC、14cmD、11cm3如图2所示，已知PA、PC分别是ABC的外角DAC、ECA的平分线，PMBD，PNBE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）A.PMPNB.PMPNC.PMPND.无法确定DMABCNPE图2DBCAEF图34如图3所示，ABC中，AB=AC，AD是A的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )AD平分EDF； AE=AF； AD上的点到B、C两点的距离相等到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5 ABCDP如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C下列结论错误的是（ ）AAD=CP BABPCBP CABDCBD DADB=CDB二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_7如图5所示，已知点C是AOB平分线上的一点，点P、P分别在边OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC8如图，已知平分，平分，且过点，若，则的周长是EBDCA9如图，在ABC中，C=900，AD平分CAB，BC8cm，BD5cm，那么D点到直线AB的距离是 cm10如图所示：若BADCAD，且BDAB于B，DCAC于C，则BDCD，若BDAB于B，DCAC于C，且BDCD，则BADCAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处三、细心做一做，你会成功（共40分）AFCDEB11已知：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，BDCD，求证：BC.12如图，已知在中，点是斜边的中点， 交于求证：平分13 先作图，再证明（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）作的平分线，交于点；延长到点，使，连结（2）求证：14、如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB.B组一、选择题1、ABC中，C=90，点O为ABC三条角平分线的交点，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 2、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处 B、2处 C、3处D、4处3、如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） AOA=OC B点O到AB、CD的距离相等 CBDA=BDC D点O到CB、CD的距离相等 4、（2009温州中考）如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（ ）A. B.平分C. D.垂直平分 ODPCAB5、(2009牡丹江中考)尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAASDSSS 二、填空题6、（2009厦门中考）如图，在ABC中，C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D到直线AB的距离是_厘米。 7、（2010珠海中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4cm，则点P到BC的距离是_cm. 8、在ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，则D到AB的距离为. 9如图，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FGAB，垂足为G，则CF_FG，CE_CF.第10题第9题10如图，已知AB、CD相交于点E，AEC及AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_.11点O是ABC内一点，且点O到三边的距离相等，A=60，则BOC的度数为_三、解答题12、如图，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求证：AE平分FAC.13、如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O. (1)若DBAC于D，CEAB于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由. 14、（2008衢州中考）如图，ABCD(1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF。要使ACFAEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。15.如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C求证：点C在AOB的平分线上 第八部分：中考体验一选择题（共3小题）1（2011衢州）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A1B2C3D42（2