解析几何- 方法提炼.doc

第七章中常用的方法71方法提炼 1直线的倾斜角不为90时，其正切值才叫直线的斜率故倾斜角为90的直线无斜率另外，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，故运用直线的斜率解题时，一定要考虑斜率是否存在的情形 2直线的倾斜角范围为0，)，当(0，)时，斜率k0, 当(，)时，k0, 因而已知含有参数的斜率，求其倾斜角时，必须对斜率的正负加以讨论一般当k0时其倾斜角为arctank，也可表示为arctan(k)或+arccot()或+arcsin等，要注意反三角函数值的等价性 3直线斜率k的求法有三种： (1) 已知倾斜角，求k(分90，90两种情况求； (2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求 k(分x1=x2, x1x2两种情况求，特别当x1x2时，k不存在； (3) 已知直线方程AxByC0，求k, 分B0, B0两种情况求 4设已知A(a，b)，B(c，d)，P(m，n)，要使过P点的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率k范围的求法(A点在B点的左侧)可分两种情形术：(1) 当直线xm与线段AB有交点时，kkPB或kkPA, (2) 当直线x=m与线段AB无交点时，kPAk0), |PCr点P在圆C内；|PC|r点P在圆C上；|PC|r点P在圆C外3求圆的方程的一般方法 (1) 直接法：若已知圆的圆心坐标和半径，或由已知条件较易求出圆心和半径，则利用圆的标准方程，可直接写出圆的方程 (2) 待定系数法：确定一个圆，需要三个独立的条件当已知圆心或半径的有关条件时，一般采用设标准形式求方程；当已知圆上三点或三点以上的坐标时，一般采用设一般式求方程，待定系数法是求圆的方程的重要方法 (3) 数形结合法有些圆的方程可通过图形及圆的特殊性质巧妙得解710方法提炼 1直线与圆的位置关系的判定方法 方法一：用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系判定：直线与圆相交dr；直线与圆相切dr；直线与圆相离d r 方法二：联立直线方程与圆的方程组成的方程组，消去其中一元，得另一元的二次方程，其判别式为，直线与圆相交0；直线与圆相切=0；直线与圆相离0 2点与圆的位置关系的判定方法 设点P(x0，y0)到圆心 C(a，b)的距离为 d，则有dr点 P在圆C外； d =r点 P在圆C上； dr点 P在圆C内 3圆与圆的位置关系的判定方法 设两圆哦O1，O2的半径分别为R，r(R与r的大小不定)，且两圆的圆心距离为|O1O2|d，则两圆外离dR+r；两圆内含0d|Rr|；两圆相交|Rr|dRr；两圆外切d=Rr；两圆内切d|Rr| 4圆的割线与圆有两个公共点的直线的有关问题的计算(处理)方法 这里有三个问题：已知直线l的方程与圆的方程，求弦长；已知弦长和圆的方程，求直线方程；已知直线方程和弦长及半径(或圆心)，求圆的方程处理圆中的这三个问题时，由于都与弦长有关，故可利用弦心距d, 半径r、半弦长之间的直角三角形的关系：d2十半弦2r2解决 5圆的切线方程及切线长的求法 (1) 已知圆上一点P(x0，y0)，求过该点的切线方程其方法一：由切线垂直于经过切点的半径得出切线的斜率等于切点与圆心连线的斜率的负倒数，求出切线的斜率，再由点斜式写出切线的方程方法二：(直接改写法)，将x2，y2，x，y分别改写为x0x，y0y，即可但须注意，这种改写方法只适用于圆的一般方程 (2) 已知过圆外一点的切线方程的求法 分三个步骤：先用点斜式设出所求切线方程(斜率k为参数)；利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出切线的斜率； 用点斜式写出切线的方程特别需要注意的是，过圆外一点作圆的切线一定可以作两条，若利用上述方法只求出一个k的解，则说明一定还有一条切线，其斜率不存在，应当补回来。从圆x2+y2+DxEyF0外一点P(x0，y0)作圆的切线，则所引的切线的长为l=. (3) 已知切线的斜率，求切线方程 先设切线方程为y=kxb(k为斜率，为已知)，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出b即可得切线方程6求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长的方法 若已知两圆的方程的二次项(x2和y2的系数相等，则两圆方程相减，即得两圆公共弦所在直线的方程，再任作一个圆的弦心距，由弦心距2十半弦2=半径2可求出半弦，从而得出公共弦长7两圆的公切线的条数的计算 (1) 两圆内含没有公切线； (2) 两圆内切只有一条公切线； (3) 两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线。其外公切线的求法，均利用两个直角三角形相似及定比分点坐标公式求解； (4) 两圆外切，有两条外公切线和一条内公切线，共3条公切线； (5) 两圆外离，有两条外公切线和两条内公切线，共4条公切线8求圆上的点到已知直线的距离为某一定值的个数的计算方法 设直线l：Ax十ByC0, 圆C：(xa)2(yb)2=r2, 圆心(a，b)到直线l的距离为d，圆上的点P到l的距离为d0 (1) 若dr，则l与圆相离 当d0=dr时，P点只有一个；当 drd0dr时， P点有且只有两个；当d0dr或d0dr时，不存在这样的P点 (2) 若dr，则l与圆相交 当d0= rd时， P点有且只有一个；当rdd0rd时，P点有且只有两个；当d0=rd时，P点有且只有三个；当d0r d时， P点有且只有4个；当d0rd时，P点有且只有0个 因而要计算这样的点，必须先判断直线与圆的位置关系，再据各种情形加以判断9求一般二次曲线的中点弦的轨迹方程的常用方法 利用“常设而不求”的方法求解即：先设弦两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦的中点为(x 0，y 0)，则将(x 1，y 1)，(x 2, y 2)代入二次曲线得两方程，两方程相减并因式分解后，将含 x 1x 2，y 1y 1的因式分别用2x 0，2y 0代替，而即为弦的x斜率，利用已知条件可得含x 0，y 0的方程，即为所求10已知圆的方程，求圆上的动点的横、纵坐标的和、差、积、商等代数式的最值方法 已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2，求，3x2y，xy，x2y2的最值，常采用换元法其中关于x与y的商的代数式，可用代数换元，令=k将其转化为过圆外一点作已知圆的切线，求切线斜率的最值；若所求的代数式是关于x与y的和、差、积或平方和与差的最值，则均采用三角换元法(即令xacos，yb=sin)，利用三角函数的有界性及有关知