有界集与确界定理.ppt

1 2数集 确界原理 一 区间与邻域二 上确界 下确界 一 区间与邻域 1 集合 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该集合的元素 有限集 无限集 数集分类 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系 例如 不含任何元素的集合称为空集 例如 规定 空集为任何集合的子集 2 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 称为开区间 称为闭区间 称为半开区间 称为半开区间 有限区间 无限区间 区间长度的定义 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的长度 3 邻域 二有界集 确界原理 1有 无 界数集 定义 上 下有界 有界 数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界 例1证明集合 是无界数集 证明 由无界集定义 E为无界集 2确界 直观定义 若数集S有上界 则它有无穷多个上界 其中最小的一个上界称为数集S的上确界 同样 有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界 确界的精确定义 证必要性 用反证法 例3设数集S有上确界 证明 例4 证 故有确界原理知 数集A有上确界 数集B有下确界 是数集A的一个上界 而由上确界的定义知 由假设 数集B中任一数都是数集A的上界 A中任一数都是B的下界 是数集A的最小上界 故有 而此式又表明数是数集B的一个下界 故由下确界的定义证得 例5 为非空数集 试证明 证 有 或 由 和 分别是 的下界 有 或 即 是数集 的下界 和 3 数集与确界的关系 确界不一定属于原集合 以例1 为例做解释 4 确界与最值的关系 设E为数集 E的最值必属于E 但确界未必 确界是一种临界点 非空有界数集必有确界 见下面的确界原理 但未必有最值 若存在 必有对下确界有类似的结论 5确界原理定理1 确界原理 设E为非空数集 若E有上界 则E必有上确界 若E有下界 则E必有下确界 非空 有上界 1 若 中有最大数 则 即为上确界 中无最大数 用下述方法产生实数的一个分划 其余的实数归入下类 则 是实数的一个分划 证明设 2 若 的一切上界归入上类 其次 由于 不是 的最大数 所以它不是 的上界 即 这说明 中任一元素都属于下类 A B不空 首先 取 A B不漏性由A B定义即可看出 A B不乱 设 因a不是E的上界 使得 而E内每一元素属于A 所以 由 的证明可见 无最大数 所以 是实数的一个分划 由戴德金定理 知上类B必有最小数 记作c 由知 即得 这表明c 是 的一个上界 若b是E的一个上界 则 由此得 所以c是上界中最小的 由上确界定义 为集合的上确界 记作 下证 非空的有下界的集合必有下确界 事实上 设集合 有下界b 则非空集合 有上界 b 利用集合 上确界的存在性 即可得出集合E的下确界存在 定理1解决了非空有上 下 界集合的上 下 确界存在性问题 我们可以利用上确界的存在性 得出我们所研究的某一类量 如弧长 的存在性 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界 我们称该全序集是完备的 定理1刻划了实数集是完备的 设A B为非空有限数集 证明 例6 证 故得 所以