c1汽车修理第88队.doc

汽车修理问题摘要汽车修理是一个随机服务系统，通过对服务台的合理规划从而提高服务效率，缩短顾客排队等候的时间，为尽可能多的顾客服务。我们以排队论理论为模型，建立了汽车修理问题的排队论数学模型。问题一：首先对附表一的数据进行整理分析，得出顾客到达服从泊松流分布，计算求得单位时间到达的顾客数，再对附表二的数据利用拟合优度检验法进行验证，得出服务时间服从负指数分布，计算求得每个服务台的平均服务率，从而求得系统服务强度即工作台的利用率=/c问题二：求解汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，这属于典型的排队论问题。在问题一的基础上，我们建立了M/M/C/N/FCFS排队模型，求得顾客等待的概率为，等待修理的汽车的平均水平为，正在修理的汽车平均水平为。问题三：从费用角度研究该汽车维修点人员和设备的最佳配置，首先对各费用进行分析，因为单个服务台的费用是一定的，顾客损失也是确定的，所以只需考虑服务台数的优化，建立总费用的线性规划模型，求解得，即一个服务台一名维修工人时为最佳配置，最小平均费用为749.79元。问题四：在汽车侯修时，需告知顾客知其大致修理完成时间区间。由此我们设立一个置信度为95%的置信区间，根据汽车修理服务时间服从负指数分布，检验得出置信区间为116.01,149.99min.问题五：基于情况的复杂性，N策略、负顾客、反馈GeoGeo1多重休假排队模型的提出就显得尤为重要，它不仅确定了队长稳态分布的存在条件，还得出了系统处于假期和忙期的概率以及稳态下系统队长的条件随机分解和由休假引起的附加队长的分布表达式 关键词：汽车修理 排队论 拟合检验 SPSS 最优配置问题重述汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客， 服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。 对于一个特定的汽车修理点来说，在某一时刻提供服务的顾客数量是有限的, 且在整个服务过程中, 对每一位顾客服务的时间长度也不确定。若在某一时刻, 到达的顾客数量超过了汽车修理点的容量, 顾客就必须排队等候，这种现象几乎是不可避免的，但如果顾客到达后需要排长队, 就会造成顾客流失，有些顾客将不愿长时间等候而另求服务, 这对于汽车修理点来说是一种损失。 因此， 作为汽车修理点的管理者，应根据自身的服务条件人员和设备状况，考虑如何组织好修理生产, 提高服务效率，以缩短顾客排队等候的时间，为尽可能多的顾客服务。 同时，还应考虑如何降低服务成本，提高效益，使整个系统达到最佳运行状态。我们考虑某汽车修理点的数学建模问题。该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为顾客到达服务机构时, 若所有服务台都被占用, 则按先后次序单列排队等候服务。服务规则为先到先服务, 即按到达的先后次序接受服务。附表一为该维修点2008年8月至2009年7月修理小车数量的原始记录资料(统计间隔时间均为一天, 总天数为356天)。附表二为汽车修理服务时间记录表。该维修点有九名维修技术工人、三个工作台, 根据以往经验，每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项: (1)工资300元，(2)餐费30元，(3)房租54元，(4)水电费38元，(5)税收45元， (6)设备折旧费26元，(7)上缴费用100元，(8)设备维修费13元，(9)交通、洗涤、易损工具费等26元。 顾客等待费用的确定比较困难, 它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等, 由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元/台天。问题一：通过计算工作台的利用率并分析结果。问题二：计算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。问题四：作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。能否根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？模型假设1、 要修理的汽车源是无限的；2、 每个服务台的服务能力（即每个服务台修理汽车能力）相同；3、 修理站的服务资源充裕；4、 汽车均在一次修理完毕后可正常运行离开；5、 服务人员的服务质量相同；6、 汽车修理处8小时制；7、 各服务台工作室相互独立（不搞协作）且平均服务率相同；8、 每个服务台的维修技术工人数相同符号说明单位时间到达的顾客数每个服务台的平均服务率系统的服务强度c服务台的个数N汽车修理处的最大顾客容量- 汽车修理点系统的空闲率；- 汽车修理点系统的状态概率；-顾客平均等待时间；- 正在修理的汽车平均水平，即队列长；-为正在接受汽车修理服务的顾客数- 等待修理的汽车平均水平，即队长；模型建立1.1问题一分析 汽车修理点服务台问题是一个多服务台系统容量有限制德尔排队系统的问题，我们根据附表一的数据进行整理分析，利用SPSS检验得出顾客到达服从泊松分布，并由此求出单位时间内一个顾客到达的概率，再对附表二的数据利用拟合优度的检验进行验证，得出服务时间服从负指数分布，计算求得每个服务台的平均服务率，从而得出系统的服务强度=/c,即工作台的利用率。由此建立模型一。1.2问题一模型我们对2008年2009年7月汽车修理数量进行频数统计如下表1 表1 2008年8月2009年7月汽车修理数量频数统计表 顾客数频数顾客数频数顾客数频数228471411359481574121043164522113517263312261817431318201合计360由此可以看出顾客数的分布大致服从泊松分布，再用SPSS进行检验可以得到顾客数服从泊松分布，那么我们可以求得该分布的数学期望为9，所以=我们再对附表2的数据进行统计分析，估计服务时间服从负指数分布，然后我们对服务时间服从负指数分布进行拟合检验服务时间服从负指数分布的拟合检验见表2：每次检查平均服务时间式中为组中值计算概率计算理论频数求值表2 服务时间服从负指数分布的拟合检验服务时间（分）实际频数理论频数概 率30-904190-15023150-21018210-2709270-3305330-3904合计100U=0.00737因为当顾客数超过N时，顾客会因为不愿意排队而流失，所以由上述检验综合可知该系统是M/M/C/N/FCFS =/1.2结果分析由知，工作台未得到充分的利用，即到达的顾客数不会超过汽车修理点的最大容量，但是这样可能会对资源造成浪费，即在有的工作台工作的时候，有的工作台空闲的情况，额外增加了服务成本，这对于汽车修理点来说是一种损失。 因此，汽车修理点应根据其自身的服务条件（人员和设备状况），考虑重新组织好修理生产, 提高服务效率，减少服务台的数目，以降低服务成本，以达到尽可能多的利润。2.1问题二分析 题目要求算出汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，这属于典型的排队论问题，由此我们可以建立M/M/C/N/FCFS排队模型2.2问题二模型我们作出系统的生灭状态示意图在模型一的基础上我们建立生灭过程状态转移方程其中，由递推关系可以求得系统状态概率为 （2）系统相应的各项为系统的队长， 正在接受服务的顾客数 平均逗留时间， 平均等待时间， 系统的排队长 其中，顾客等待的概率： 2.3模型的求解为了计算方便，我们规定N取值为8，且c=3,得 故可得：顾客等待的概率：等待修理的汽车的平均水平为正在修理的汽车平均水平为=2.4问题二建议由以上求解，可以知道系统中一共所含的平均车辆数，即系统中所包含的车数约为2辆，显然工作台的空闲率过高，所以从费用角度来考虑，应减少工作台的数量，相应的也要减少工人的数量。3.1问题三模型 题目要求我们从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置，这属于排队系统最优化问题，我们考虑在稳态情况下，单位时间全部费用（服务成本与等待费用之和的期望值） 其中是服务台数；是每服务台单位时间的成本；为每个顾客在系统停留单位时间的费用；是队列中等待的顾客平均数（随值的不同而不同）。因为和都是给定，唯一的可能变动的是服务台数，所以是的函数，现在是求最优解使为最小。因为只取整数值，不是连续变量的函数，所以不能用经典的微分法。我们采用边际分析法（Marginal Analysis）,根据是最小的特点，我们有将式中代入，得上式化简后，得一次求时的值，并作两相邻的值之差，因是已知数，根据这个数落在哪个不等式的区间里就可定出。解得，当时，由以上结论可知，当服务台为一，维修工人数为三时，此时为最佳配置，最小平均费用为749.79元。4.1问题四分析根据问题一的检验结果可知，汽车修理服务时间服从负指数分布，设母体具有概率密度函数，为未知参数，为取这个母体的一个子样。若对于事先给定的，存在两个统计量和使得则称区间为参数的置信度为的置信区间，和分别称为置信度的置信上限和置信下限。4.2问题四模型 利用统计软件SPSS对附表二的数据求解得到下表描述统计量标准误服务时间(分)均值133.008.563均值的 95% 置信区间下限116.01上限149.995% 修整均值127.06中值115.00方差7333.010标准差85.633极小值30极大值355范围325四分位距112偏度.906.241峰度.013.478由以上求得数据可知在置信度为0.95时，服务台修理汽车大致修理完成时间区间为116.01,149.99min,粗略可估计为116,150min.5.1问题五分析5问题五模型的建立5.1建模分析在前面几个问题中，已经进行了拟生灭模型的建立，它能对进行很好的模拟，但这个模型具有它的局限性，休假没有考虑，这是它的欠缺，因此在下面的建模中我们将从休假角度建立模型。5.2 模型建立背景由于离散时间排队系统研究的相对复杂性，现在离散时间排队的研究成果较连续时间是少之又少，将N策略、负顾客、反馈和休假机制同时引入到离散时间排队系统中运用拟生灭过程和矩阵几何解法，得到了相关的排队指标5.3 N策略、负顾客、反馈GeoGeo1多重休假排队模型5.3.1模型的要求此模型需要引入N策略，负顾客，反馈和休假机制5.3.2模型的描述正、负顾客的到达问隔T+、T-，休假时间v，正顾客的服务时间S分别服从参数为 的几何分布系统中只有一个服务台，当系统中的正顾客数为零时，系统进入休假状态，在休假期间，服务台不参与服务 定理5 当 1时，对于带有N策略、负顾客和反馈的多重休假GeoGeo1排队系统，条件随机变量心)可分解为两个独立的随机变量之和L(N)=Qo+Ld，其中Qo是带有负顾客和反馈的无休假GeoGeo1排队系统在服务台忙时排队等待的正顾客数，Ld表示由休假引起的附加队长，有分布函数正、负顾客的到达问隔T+、T-，休假时间v，正顾客的服务时间S分别服从参数为的几何分布系统中只有一个服务台，当系统中的正顾客数为零时，系统进入休假状态，在休假期间，服务台不参与服务现在引入N策略规则：当休假结束时，若系统中的正顾客数大于或等于N个，服务台开始服务，进入忙期，以服务率为顾客服务，直至系统中的正顾客数为零，否则开始另一个独立同分布的休假到达的负顾客不接受服务，只抵消正在接受服务的正顾客，否则，到达的负顾客自动消失服务完的正顾客以概率离开系统，以概率(1-)返回队尾排队等待下一次服务，返回队尾所需时间记为零，正、负顾客的到达间隔T+、T-、休假时间v、正顾客的服务时间S均相互独立，服务规则是FIF0我们讨论具有延迟入口的晚到系统，J下顾客的到达发生在(n-,n)上，负顾客的到达发生在时隙分点刀上，正负顾客可以在同一个时隙分点上到达，但最多只能同时到达一个正顾客和一个负顾客服务与休假的开始与结束均发生在(n,n+)上。17 定理5 当1时，对于带有N策略、负顾客和反馈的多重休假GeoGeo1排队系统，条件随机变量心)可分解为两个独立的随机变量之和L(N)=Qo+Ld，其中Qo是带有负顾客和反馈的无休假GeoGeo1排队系统在服务台忙时排队等待的正顾客数，Ld表示由休假引起的附加队长，有分布函数5.4模型的评价优点：1.模型从实际出发，更具有普适性。2.此模型较为完善，考虑周到。3.使用了拟生灭过程和矩阵几何解方法，计算结果可靠。缺点：模型太复杂，难以计算，思想方法晦涩难懂。模型的改进：由于计算程序过于复杂，可以开发专门的matlab数据包进行该模型的求解。参考文献：1教材编写组，运筹学，清华大学出版社，2005.6(3)2魏宗舒，概率论与数理统计教程第二版，高等教育出版社，2008.43姜启源，数学建模（第三版），高等教育出版社，2003.8（3）4薛薇，SPSS统计分析方法及应用，北京：电子工业出版社，2004.9附录附表一2008年8月2009年7月汽车修理数量统计表 单位: (辆) 年月日期2008年2009年8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月7月18741212513915116132911810169161310631031535811714781213741099881171157812591065681381210108614671179859897778815108109697118610181391011681241099101011899759861011511811108107867111386513961513109512812141113119119815121310139710131078989141175671288108101115121089581256149716747144127107612617896108101010113712181014101061612149411919691099101110395420105661117621278521489714209941211922511124917567161215238613771310911571124119123813114669