河南省南阳市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷文(含解析).doc

河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）不等式1的解集为（）A（，2B（，1）（1，2C1，2D（1，22（5分）在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形3（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，an0，a1=3，S3=21，若an=48则n=（）A4B5C6D74（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A椭圆B椭圆在y轴上及其右侧部分C双曲线D双曲线右支5（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A（30+30）mB（30+15）mC（15+30）mD（15+15）m6（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x9在x=1时取得极值，则a等于（）A1B2C3D47（5分）在等差数列an中公差d0，若a3+ama7=an+a2a5，则mn=（）AB1C2D48（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）命题：“若x22x3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x3，则x22x30”；命题：“xR，使x2lgx”的否定是“xR，x2lgx”；“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件A0个B1个C2个D3个9（5分）若x，y满足条件，z=xy的最小值为（）A1BCD10（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f（x），g（x）且f（x）g（x）则下列结论一定成立的是（）Af（1）+g（0）g（1）+f（0）Bf（1）+g（0）g（1）+f（0）Cf（1）g（0）g（1）f（0）Df（1）g（0）g（1）f（0）11（5分）若数列，则称数列an为“调和数列”已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是（）A10B100C200D40012（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）=，f（e）=14（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PQF的周长为15（5分）若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x4的最小距离为16（5分）已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）=x3=ax24x+3（xR）（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围18（12分）已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c（1）求角A的大小（2）若a=1，bc=2，求b+c的值19（12分）设a为实数，函数f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当aln21且x0时，exx22ax+120（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y10），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点（1）若，求直线l的斜率；（2）求ATF的最大值 21（12分）已知数列an的各项为正值且首项为1，a2=2，Sn为其前n项和函数f（x）=anan+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴（1）求an和Sn（2）设bn=log2an+1，数列的前n项和为Tn，求证：Tn122（12分）已知两点F1（1，0），F2（1，0），点P在以F1，F2为焦点的椭圆C，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|1）（m0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl，当|F1M|+|F2N|最大时，求直线l的方程河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）不等式1的解集为（）A（，2B（，1）（1，2C1，2D（1，2考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：不等式即 ，等价转化为 ，由此求得它的解集解答：解：不等式1，即 ，即 ，解得1x2，故选：D点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题2（5分）在ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若a=2ccosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形考点：正弦定理；余弦定理专题：三角函数的求值分析：已知等式利用正弦定理化简，将sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sin（BC）=0，确定出B=C，即可得出三角形形状解答：解：已知等式a=2ccosB，利用正弦定理化简得：sinA=2sinCcosB，将sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入得：sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB，即sinBcosCcosBsinC=sin（BC）=0，BC=0，即B=C，则ABC为等腰三角形故选：B点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键3（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，an0，a1=3，S3=21，若an=48则n=（）A4B5C6D7考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由已知求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案解答：解：设等比数列an的公比为q（q0），由a1=3，S3=21得3（1+q+q2）=21，解得：q=2由=48，得2n1=16，即n=5故选：B点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题4（5分）已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A椭圆B椭圆在y轴上及其右侧部分C双曲线D双曲线右支考点：轨迹方程专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心C的轨迹解答：解：设动圆圆心C（x，y），半径为r，圆M与圆C1：（x+4）2+y2=4外切，与圆C2：（x4）2+y2=1内切，|CC1|=2+r，|CC2|=r1，|CC1|CC2|=38，由双曲线的定义，C的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线的右支，故选：D点评：本题考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义，正确运用两圆的位置关系是关键5（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A（30+30）mB（30+15）mC（15+30）mD（15+15）m考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在PAB由正弦定理可得解答：解：在PAB，PAB=30，APB=15，AB=60，sin15=sin（4530）=sin45cos30cos45sin30=由正弦定理得：=30（+），建筑物的高度为PBsin45=30（+）=（30+30）m，故选A点评：此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边6（5分）若函数f（x）=x3+ax2+3x9在x=1时取得极值，则a等于（）A1B2C3D4考点：函数在某点取得极值的条件专题：计算题；导数的概念及应用分析：因为f（x）在x=1时取极值，则求出f（x）得到f（1）=0，解出求出a即可解答：解：f（x）=3x2+2ax+3，f（x）在x=1时取得极值，f（1）=62a=0a=3故选：C点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）在等差数列an中公差d0，若a3+ama7=an+a2a5，则mn=（）AB1C2D4考点：等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：根据等差数列的通项公式和条件化简已知的式子，即可得到答案解答：解：在等差数列an，有a3+ama7=an+a2a5，（a1+2d）+a1+（m1）d（a1+6d）=a1+（n1）d+a1+d（a1+4d），即（m5）d=（n4）d，公差d0，mn=1，故选：B点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题8（5分）下面命题中，正确命题的个数为（）命题：“若x22x3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x3，则x22x30”；命题：“xR，使x2lgx”的否定是“xR，x2lgx”；“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件A0个B1个C2个D3个考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：根据逆否命题的定义进行判断；根据特称命题的否定是全称命题进行判断；根据充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：命题：“若x22x3=0，则x=3”的逆否命题为：“若x3，则x22x30”；故正确，命题：“xR，使x2lgx”的否定是“xR，x2lgx”；故正确，点（4，4）在曲线y2=4x上，但点M的坐标为（1，2）不正确，故“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标为（1，2）”的必要不充分条件，故正确，故选：D点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有四种命题之间的关系，含有量词的命题的否定，以及充分条件和必要条件的定义9（5分）若x，y满足条件，z=xy的最小值为（）A1BCD考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=xy得y=xz，平移y=xz，由图象知当直线y=xz经过点A时，直线的截距最大，此时z最小由，解得，即A（3，3），则z33=，故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法10（5分）定义在R上的函数f（x），g（x）的导函数分别为f（x），g（x）且f（x）g（x）则下列结论一定成立的是（）Af（1）+g（0）g（1）+f（0）Bf（1）+g（0）g（1）+f（0）Cf（1）g（0）g（1）f（0）Df（1）g（0）g（1）f（0）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：由题意构造函数F（x）=f（x）g（x），从而可得F（x）=f（x）g（x）0，从而可判断出f（1）g（1）f（0）g（0）；从而求解解答：解：设F（x）=f（x）g（x），则F（x）=f（x）g（x）0，故F（x）=f（x）g（x）在定义域上为减函数，故F（1）F（0），故f（1）g（1）f（0）g（0）；故f（1）+g（0）g（1）+f（0）；故选A点评：本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，中档题11（5分）若数列，则称数列an为“调和数列”已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+b9=90，则b4b6的最大值是（）A10B100C200D400考点：等差数列的性质；基本不等式专题：新定义分析：由已知数列为调和数列可得bn为等差数列，由等差数列的性质及已知可求b4+b6，利用基本不等式可求b4b6的最大值解答：解：由已知数列为调和数列可得bn+1bn=d（d为常数）bn为等差数列，由等差数列的性质可得，b1+b2+b9=9b5=90，b4+b6=2b5=20，又bn0，故选B点评：本题以新定义为载体在，注意考查了等差数列的通项公式、等差数列的性质及基本不等式在求解最值中的应用12（5分）已知椭圆C：=1（ab0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接了AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形，由此能求出离心率e解答：解：如图所示，在AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF=100+642108=36，|AF|=6，BFA=90，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形|BF|=6，|FF|=102a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5e=故选B点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）已知函数f（x）=，f（e）=考点：对数的运算性质专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算法则，先求导，再代入值计算解答：解：f（x）=，f（x）=，f（e）=故答案为：点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题14（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则PQF的周长为44考点：双曲线的简单性质专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决求出周长即可解答：解：根据题意，双曲线C：的左焦点F（5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：|PF|AP|=2a=6 |QF|QA|=2a=6 而|PQ|=16，+得：|PF|+|QF|PQ|=12，周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44故答案为：44点评：本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题15（5分）若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x4的最小距离为2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x4平行时，点P到直线y=x4的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x4的距离即为所求解答：解：点P是曲线y=x2lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x4平行时，点P到直线y=x4的距离最小直线y=x4的斜率等于1，y=x2lnx的导数y=2x令y=1，解得x=1，或 x=（舍去），故曲线y=x2lnx上和直线y=x4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x4的距离d=，故点P到直线y=x4的最小距离为d=2，故答案为：2点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查点到直线的距离公式的应用，求出函数的导数及运用两直线平行的条件是解题的关键，体现了转化的数学思想16（5分）已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3考点：直线与圆锥曲线的关系专题：计算题分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简利用根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=b3，根据AB的中点（，+b） 在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=求得结果解答：解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简可得 x2 +x+b3=0，x1+x2=1，x1x2=b3，故AB 的中点为（，+b）根据中点在直线x+y=0上，+（+b）=0，b=1，故 x1x2=2，|AB|=3，故答案为3点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x1+x2=1，x1x2=2，是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知函数f（x）=x3=ax24x+3（xR）（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1）处的切线方程（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（1）a=2时，f（x）=x3+2x24x+3，f（x）=3x2+4x4；从而求得f（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程（2）求导f（x）=3x2+2ax4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f（x）0在（1，2）上恒成立；从而可得ax，令h（x）=x，从而化为最值问题解答：解：（1）a=2时，f（x）=x3+2x24x+3，f（x）=3x2+4x4；故f（1）=3，f（1）=2；故所求切线方程为y=3（x1）+2，即3xy1=0（2）f（x）=x3=ax24x+3，f（x）=3x2+2ax4；f（x）在区间（1，2）上单调递减，f（x）0在（1，2）上恒成立；即3x2+2ax40，即ax，令h（x）=x，又由hmin（x）=h（2）=2；故a2；故实数a的取值范围为（，2点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题18（12分）已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bsinA=c（1）求角A的大小（2）若a=1，bc=2，求b+c的值考点：余弦定理的应用专题：计算题；三角函数的求值；解三角形分析：（1）运用正弦定理和诱导公式及两角和的正弦公式，化简整理，即可得到A；（2）运用余弦定理，配方整理，计算即可得到b+c的值解答：解：（1）由acosB+bsinA=c，运用正弦定理得sinAcosB+sinBsinA=sinC，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinBsinA=cosAsinB，所以tanA=，由于A为三角形的内角，则A=；（2）a=1，bc=2，由余弦定理知a2=b2+c22bccos=（b+c）2bc（2+）即有1=（b+c）2（2）（2+），即有（b+c）2=2，可得b+c=点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的基本关系式和两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题19（12分）设a为实数，函数f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当aln21且x0时，exx22ax+1考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：计算题；压轴题分析：（1）由f（x）=ex2x+2a，xR，知f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值（2）设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增由此能够证明exx22ax+1解答：（1）解：f（x）=ex2x+2a，xR，f（x）=ex2，xR令f（x）=0，得x=ln2于是当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，ln2）ln2（ln2，+）f（x）0+f（x）单调递减2（1ln2+a）单调递增故f（x）的单调递减区间是（，ln2），单调递增区间是（ln2，+），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln22ln2+2a=2（1ln2+a），无极大值（2）证明：设g（x）=exx2+2ax1，xR，于是g（x）=ex2x+2a，xR由（1）知当aln21时，g（x）最小值为g（ln2）=2（1ln2+a）0于是对任意xR，都有g（x）0，所以g（x）在R内单调递增于是当aln21时，对任意x（0，+），都有g（x）g（0）而g（0）=0，从而对任意x（0，+），g（x）0即exx2+2ax10，故exx22ax+1点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用解题时要认真审题，仔细解答20（12分）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y10），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点（1）若，求直线l的斜率；（2）求ATF的最大值考点：平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质专题：平面向量及应用分析：（1）由题意可得F（1，0），T（1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件设直线l的方程为y0=k（x1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x1+x2=，且x1x2=1，且 y1y2=4结合求得k的值（2）根据 y10，tanATF=，利用基本不等式求得tanATF 的最大值，从而求得ATF 的最大值解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，2），此时，这与矛盾故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y0=k（x1），代入抛物线C：y2=4x的方程化简可得 k2 x2（2k2+4）x+k2=0x1+x2=，且x1x2=1=16x1x2=16，y1y2=4由可得 （x1+1）（x2+1）+y1y2=1把代入可得 k2=4，k=2（2）y10，tanATF=1，当且仅当=，即 y1=2时，取等号，故tanATF 的最大值为1，故ATF的最大值为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题21（12分）已知数列an的各项为正值且首项为1，a2=2，Sn为其前n项和函数f（x）=anan+2x+a2n+1cosx在x=处的切线平行于x轴（1）求an和Sn（2）设bn=log2an+1，数列的前n项和为Tn，求证：Tn1考点：数列与函数的综合专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系，判断数列为等比数列，求出公比即可求an和Sn（2）求出bn=log2an+1的表达式，利用裂项法进行求和，即可证明不等式解答：解：（1）由f（x）=anan+2x+a