《立体几何》板块导学案.doc

2012学年高三数学（理）模块复习学案立体几何一、 知识网络点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90范围：0，90范围：0，180点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cosqsinqcosqd空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等二、 近几年考题分析近六年广东高考立体几何题：除07年以外，每年均考一道选择题一道大题。除09年考察经典的点线面位置关系的判断以外，其余年份选择题均考三视图。08、10考的是三视图的画法，11、12考的是根据三视图求几何体的体积。解答题围绕平行垂直的证明、体积、线线角、线面角、二面角展开。感觉纯几何的方法都能很有效直接地解决问题，向量法有时难以下手，例如：10年以及11年的题目。建议：（1）加强点线面位置关系判断问题的学习。力争同学都能拿分。（2）加强三视图的学习，减少误区是关键。（3）强化解答题的训练，提高向量法的运算速度以及准确率。（4）系统学习纯几何解决解答题方法，特别是线线角、线面角、二面角问题的辅助线作法。三、怎样总结（一）从某个核心知识出发(形成一种结构)（二）从某个典型题出发提炼思路，从某个重要问题出发总结方法系统（三）从某类常见问题中突破基本技能例如：（一）核心知识：平行垂直问题（根据下面的知识结构图写出相应的定理）线线角平面几何知识应用“垂直三角形两边的直线必垂直第三条边”1、 线面角2、 二面角3、 空间距离（含几何体的高）4、应用（*）平行的证明（根据下面的知识点提示写出相应的定理，并结合做过的题目进行加深理解）1、 线线平行证明途径：（1）传统几何法（非向量法）：三角形中的中位线（或利用平行四边形）或（相似三角形或平行线分线段成比例）（核心，考试重点常考点）转化为两直线同时与第三条直线平行；（公理四）转化为线面平行；（线面平行的性质定理）转化为面面平行；（面面平行的性质定理）转化为线面垂直；（垂直同一平面的两直线平行）（2）向量法：直线l，m的方向向量共线，即满足：（此方法较少用）2、 线面平行：（1）传统几何法（非向量法）：转化为直线与平面无公共点；（线面平行的定义）转化为线线平行；（线面平行判定定理）转化为面面平行；（2）向量法：线l的方向向量与面的法向量，即3、面面平行：（1）传统几何法（非向量法）：转化为判定二平面无公共点；转化为线面平行；（线面平行的判定定理）转化为线面垂直.（垂直同一直线的两平面互相平行）（2）向量法：面的法向量 与另一面的法向量共线注意：（1）平行注意：构造中位线、平行四边形；相似三角形或平行线分线段成比例；（2）作辅助线的技巧：中点必要利用中位线或三线合一；线面平行、面面平行，必要有线线平行等。（*）垂直的证明1、 线线垂直（1）传统几何法（非向量法）相交直线的垂直（用平几的勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线、相似三角形，或由线面垂直转化）异面直线的垂直（通常由线面垂直进行转化）：（2）向量法：利用直线l，m的方向向量垂直，即满足：2、 线面垂直（有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。）（1）传统几何法（非向量法）：转化为该直线与平面内任一直线垂直；（定义，证明时较少使用）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（线面垂直判定定理，常用）转化为该直线与平面的一条垂线平行；转化为该直线垂直于另一个平行平面；（2011广东高考18题第一问）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直。（2）向量法：转化为直线的方向向量与平面的法向量共线； 直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直。3、面面垂直： （1）传统几何法（非向量法）：转化为判断二面角是直二面角；转化为线面垂直.（2）向量法：面的法向量 与另一面的法向量垂直，即注意： 1、作辅助线的技巧：面面垂直。必要有线面垂直。2、题干的条件可以直接给出线线垂直、线面垂直、面面垂直、给出线段长度等。3、线线、线面、面面垂直的转化。每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。（二）一种问题的一类方法（自己学习总结）：（也可把平时学习遇到中的错题、典题收录在对应考点的空白处，只需标明出处便于自己重做和复习）（*）异面直线所成的角（*）直线与平面所成的角：（*）二面角的平面角（*）点到面的距离（空间的各种距离，基本可转化为“点到面的距离” （*）动态与探究性问题（动态问题（动点、动直线）注意寻找动态问题中不动的条件或结论）、(探究性问题寻找结论成立的充分条件或充要条件)（优先考虑向量法）四、易错点（把平时学习遇到中的错题、典题收录在对应考点的空白处，只需标明出处便于自己重做和复习）1、三视图（注意“长对正”、“宽相等”、“高平齐”的理解以及三视图还原后几何体的特征） 如见10月月考第9题。2、体积（注意等体积法、分割补体方法）： 3、面积（注意求全面积、表面积、侧面积的区别）：旋转（注意该几何体是由什么平面图形旋转所得）4、翻折题（注意折叠前后元素（角大小、长度、垂直关系等）的有否变化）【典例】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面AMN平面EFDB.2.如图,P是ABC所在平面外一点,A,B,C分别是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证:直线 AC平面ABC;(2)求SABCSABC.3 用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB=CD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值。（定值=2a）4.(2011安徽高考,理17)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明直线BCEF;(2)求棱锥F-OBE的体积.（演练）（07安徽理17题）如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12。（）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；5【题组】（1）、判断下列命题真假：直线与平面，三角形在平面上，如果。则。平面平面，直线，则。（2）、三棱锥四个面中最多有几个直角三角形？（制作模型，操作、论证）（3）、三棱锥中，平面，。请找出所有的线线垂直、线面垂直、面面垂直关系。（4）、三棱锥中，平面，。请找出（或做出）所有二面角的平面角。【概念图式 】-“垂直三角形两边的直线必垂直第三条边”和一个几何体“四个面均为直角三角形的三棱锥”（鳖臑）正方体的一部分）。6.（06年广东）如图3所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB.（）证明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的正切值.7. RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. 8.（2012年广东）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面。（1） 证明：平面；（2） 若，求二面角的正切值；9.如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC,ABC=45,AB=22,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求证:平面PCD平面PAC;(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小;(3)求四棱锥P-ACDE的体积10.（2012年全国卷）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。11、（2012佛山一模）如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.无公共棱的二面角的求法：1、法向量。建立恰当的空间直角坐标系，寻找两半平面的法向量，关键点的坐标及计算需谨慎小心，法向量夹角与所求二面角的关系需考虑。2、几何法。（关键寻找两半平面的公共棱，接下来的找平面角的方法与上一节二面角（一）同）1）平移其中一个半平面使其与另一半平面相交找交线；2）通过延长直线或作平行线等手段找出交线。12.（2011年广东理18） 如图5在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点（1） 证明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值 （附加 ）（3）求PA与平面ABCD所成的角的正弦值。13（山东理19） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小14.（2012年江西）在三棱柱中，已知，在在底面的投影是线段的中点。（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值。15如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.（）求证：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （）若二面角A-B1EA1的大小为30，求AB的长.16.（本小题共13分) 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。2012学年高三数学（理）模块复习学案立体几何三、 知识网络点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90范围：0，90范围：0，180点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cosqsinqcosqd空间向量空间直角坐标系空间的距离空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等四、 近几年考题分析近六年广东高考立体几何题：除07年以外，每年均考一道选择题一道大题。除09年考察经典的点线面位置关系的判断以外，其余年份选择题均考三视图。08、10考的是三视图的画法，11、12考的是根据三视图求几何体的体积。解答题围绕平行垂直的证明、体积、线线角、线面角、二面角展开。感觉纯几何的方法都能很有效直接地解决问题，向量法有时难以下手，例如：10年以及11年的题目。建议：（1）加强点线面位置关系判断问题的学习。力争同学都能拿分。（2）加强三视图的学习，减少误区是关键。（3）强化解答题的训练，提高向量法的运算速度以及准确率。（4）系统学习纯几何解决解答题方法，特别是线线角、线面角、二面角问题的辅助线作法。三、怎样总结（一）从某个核心知识出发(形成一种结构)（二）从某个典型题出发提炼思路，从某个重要问题出发总结方法系统（三）从某类常见问题中突破基本技能例如：（一）核心知识：平行垂直问题（根据下面的知识结构图写出相应的定理）线线角平面几何知识应用“垂直三角形两边的直线必垂直第三条边”5、 线面角6、 二面角7、 空间距离（含几何体的高）8、应用（*）平行的证明（根据下面的知识点提示写出相应的定理，并结合做过的题目进行加深理解）3、 线线平行证明途径：（1）传统几何法（非向量法）：三角形中的中位线（或利用平行四边形）或（相似三角形或平行线分线段成比例）（核心，考试重点常考点）转化为两直线同时与第三条直线平行；（公理四）转化为线面平行；（线面平行的性质定理）转化为面面平行；（面面平行的性质定理）转化为线面垂直；（垂直同一平面的两直线平行）（2）向量法：直线l，m的方向向量共线，即满足：（此方法较少用）4、 线面平行：（1）传统几何法（非向量法）：转化为直线与平面无公共点；（线面平行的定义）转化为线线平行；（线面平行判定定理）转化为面面平行；（2）向量法：线l的方向向量与面的法向量，即3、面面平行：（1）传统几何法（非向量法）：转化为判定二平面无公共点；转化为线面平行；（线面平行的判定定理）转化为线面垂直.（垂直同一直线的两平面互相平行）（2）向量法：面的法向量 与另一面的法向量共线注意：（1）平行注意：构造中位线、平行四边形；相似三角形或平行线分线段成比例；（2）作辅助线的技巧：中点必要利用中位线或三线合一；线面平行、面面平行，必要有线线平行等。（*）垂直的证明3、 线线垂直（1）传统几何法（非向量法）相交直线的垂直（用平几的勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线、相似三角形，或由线面垂直转化）异面直线的垂直（通常由线面垂直进行转化）：（2）向量法：利用直线l，m的方向向量垂直，即满足：4、 线面垂直（有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。）（1）传统几何法（非向量法）：转化为该直线与平面内任一直线垂直；（定义，证明时较少使用）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（线面垂直判定定理，常用）转化为该直线与平面的一条垂线平行；转化为该直线垂直于另一个平行平面；（2011广东高考18题第一问）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直。（2）向量法：转化为直线的方向向量与平面的法向量共线； 直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量都垂直。3、面面垂直： （1）传统几何法（非向量法）：转化为判断二面角是直二面角；转化为线面垂直.（2）向量法：面的法向量 与另一面的法向量垂直，即注意： 1、作辅助线的技巧：面面垂直。必要有线面垂直。2、题干的条件可以直接给出线线垂直、线面垂直、面面垂直、给出线段长度等。3、线线、线面、面面垂直的转化。每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。（二）一种问题的一类方法（自己学习总结）：（也可把平时学习遇到中的错题、典题收录在对应考点的空白处，只需标明出处便于自己重做和复习）（*）异面直线所成的角（*）直线与平面所成的角：（*）二面角的平面角（*）点到面的距离（空间的各种距离，基本可转化为“点到面的距离” （*）动态与探究性问题（动态问题（动点、动直线）注意寻找动态问题中不动的条件或结论）、(探究性问题寻找结论成立的充分条件或充要条件)（优先考虑向量法）四、易错点（把平时学习遇到中的错题、典题收录在对应考点的空白处，只需标明出处便于自己重做和复习）1、三视图（注意“长对正”、“宽相等”、“高平齐”的理解以及三视图还原后几何体的特征） 如见10月月考第9题。2、体积（注意等体积法、分割补体方法）： 3、面积（注意求全面积、表面积、侧面积的区别）：旋转（注意该几何体是由什么平面图形旋转所得）4、翻折题（注意折叠前后元素（角大小、长度、垂直关系等）的有否变化）【典例】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面AMN平面EFDB.1.证明:(1)E,F是B1C1,C1D1的中点,EF12B1D1.DD1BB1,四边形D1B1BD是平行四边形.D1B1BD.EFBD,即EF,BD确定一个平面.故E,F,B,D四点共面.(2)M,N是A1B1,A1D1的中点,MND1B1EF.MN平面EFDB,EF平面EFDB,MN平面EFDB.连接NE,则NEA1B1AB.四边形NEBA是平行四边形.ANBE.AN平面BEFD,BE平面BEFD,AN平面BEFD.AN,MN都在平面AMN内,且ANMN=N,平面AMN平面EFDB.2.如图,P是ABC所在平面外一点,A,B,C分别是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证:平面AC平面ABC;(2)求SABCSABC.2.解:(1)证明:连接PA,PB,PC,设PABC=D,PCAB=F,则D,F分别是BC,AC,AB的中点,且PAPD=PCPF=23.连接FD.所以ACDF, AC平面ABC,DF平面ABC.AC平面ABC.(2)先证明平面ABC平面ABC.:连接PA,PB,PC,设PABC=D,PBAC=E,PCAB=F,则D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,且PAPD=PBPE=PCPF=23.连接DE,EF,FD.所以ABDE,ACDF,AB平面ABC,AC平面ABC且DE平面ABC,DF平面ABC.所以AB平面ABC,AC平面ABC.从而,平面ABC平面ABC.由平面几何知识,有SDEFSABC=14,SABCSDEF=49,所以SABCSABC=19.3 用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB=CD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值。（定值=2a）分析：1.已知条件的本质是“线面平行”，结论（1）的核心问题是“线线平行”，抓住了本质，弄清楚核心，利用基本的“三类平行关系”，问题（1）迎刃而解。2.问题(2)表面是空间问题,实则是空间中的“多个平面问题”。4.(2011安徽高考,理17)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.(1)证明直线BCEF;(2)求棱锥F-OBE的体积.4.(1)(综合法)证明:设G是线段DA与线段EB延长线的交点.由于OAB与ODE都是正三角形,所以OB12DE,OG=OD=2.同理,设G是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG=OD=2.又由于G和G都在线段DA的延长线上,所以G与G重合.在GED和GFD中,由OB12DE和OC12DF,可知B,C分别是GE和GF的中点,所以BC是GEF的中位线,故BCEF.(向量法)过点F作FQAD,交AD于点Q,连QE.由平面ABED平面ADFC,知FQ平面ABED,以Q为坐标原点.QE为x轴正向,QD为y轴正向,QF为z轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E(3,0,0),F(0,0,3),B32,-32,0,C0,-32,32.则有BC=-32,0,32,EF=(-3,0,3).所以EF=2BC,即得BCEF.(2)解:由OB=1,OE=2,EOB=60,知SEOB=32.过点F作FQAD,交AD于点Q,由平面ABE平面ACFD知,FQ就是四棱锥F-OBE的高,且FQ=3,所以VF-OBE=13FQS四边形OBE=.（演练）（07安徽理17题）如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12。（）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；（四点共面问题学生比较陌生，但去年广东文科题考了这类问题，应让学生见识见识。此题向量方法较简单。）解法1（向量法）：（应先由上下底面平行推出）以D为原点，以DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）证明：于是与AC共面，与BD共面.解法2（综合法）：（）证明：平面ABCD.于是CD，DA.设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，有于是由DE=DF=1,得EFAC，故与AC共面.过点于是所以点O在BD上，故5【题组】（1）、判断下列命题真假：直线与平面，三角形在平面上，如果。则。平面平面，直线，则。（2）、三棱锥四个面中最多有几个直角三角形？（制作模型，操作、论证）（3）、三棱锥中，平面，。请找出所有的线线垂直、线面垂直、面面垂直关系。（4）、三棱锥中，平面，。请找出（或做出）所有二面角的平面角。概念图式 “垂直三角形两边的直线必垂直第三条边”和一个几何体“四个面均为直角三角形的三棱锥”（鳖臑）正方体的一部分）。6.（06年广东）如图3所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB.（）证明：PB平面CEF；（）求二面角BCEF的正切值.（I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA平面ABC又，而故CFPB,又已知EFPB PB平面CEF（2）（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC，故FEB是二面角BCEF的平面角。7. RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点. (1)求证:SD平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD平面SAC. 证明:(1)取AB的中点E,连结SE,DE,在RtABC中,D、E分别为AC、AB的中点,故DEBC,且DEAB. SA=SB,SAB为等腰三角形。SEAB.又DEAB,SEDE=E,AB平面SDE.而SD平面SDE, ABSD.在SAC中,SA=SC,D为AC的中点, SDAC.又SDAB,ACAB=A, SD平面ABC.(2)若AB=BC,则BDAC,由(1)可知,SD平面ABC,而BD平面ABC,SDBD.又BDAC,SDAC=D, BD平面SAC.8.(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面。（1） 证明：平面；（2） 若，求二面角的正切值；8.（1） （2）设AC与BD交点为O，连 又 为二面角的平面角 在， 二面角的平面角的正切值为39.如图,在五棱锥P-ABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC,ABC=45,AB=22,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(1)求证:平面PCD平面PAC;(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小;(3)求四棱锥P-ACDE的体积.9.(1)证明:在ABC中,因为ABC=45,BC=4,AB=22,所以AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 45=8,因此AC=22,故BC2=AC2+AB2,所以BAC=90.又PA平面ABCDE,ABCD,所以CDPA,CDAC.又PA,AC平面PAC,且PAAC=A,所以CD平面PAC.又CD平面PCD,所以平面PCD平面PAC.(2)解:因为PAB是等腰三角形,所以PA=AB=22,因此PB=PA2+AB2=4.又ABCD,所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.由于CD平面PAC,在RtPAC中,PA=22,AC=22,所以PC=4,故PC边上的高为2,此即为点A到平面PCD的距离.所以B到平面PCD的距离为h=2.设直线PB与平面PCD所成的角为,则sin =hPB=24=12.又0,2,所以=6.(3)解:因为ACED,CDAC,所以四边形ACDE是直角梯形.因为AE=2,ABC=45,AEBC,所以BAE=135,因此CAE=45,故CD=AEsin 45=222=2,ED=AC-AEcos 45=22-222=2,所以S四边形ACDE=2+2222=3.又PA平面ABCDE,所以VP-ACDE=13322=22.10.（2012年全国卷）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（）证明：平面；（）设二面角为，求与平面所成角的大小。【答案】11、（2012佛山一模）如图，三棱锥中，底面，为的中点，点在上，且.求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则 8分. 10分设平面的法向量. 由得，即（1） （2）取，则，. 12分取平面的法向量为则，故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.14分方法二、取的中点，的中点，连接， ，. 8分 ， . 9分 同理可证：. 又， .10分则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）已知，平面， 11分又，平面由于平面， 而为与平面的交线，又底面，平面为二面角的平面角 12分根据条件可得， 在中， 在中，由余弦定理求得 13分故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为. 14分无公共棱的二面角的求法：1、法向量。建立恰当的空间直角坐标系，寻找两半平面的法向量，关键点的坐标及计算需谨慎小心，法向量夹角与所求二面角的关系需考虑。2、几何法。（关键寻找两半平面的公共棱，接下来的找平面角的方法与上一节二面角（一）同）1）平移其中一个半平面使其与另一半平面相交找交线；2）通过延长直线或作平行线等手段找出交线。12.（2011年广东理18） 如图5在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点（1） 证明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值 （附加 ）（3）求PA与平面ABCD所成的角的正弦值。12.法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。（2），为二面角PADB的平面角，在,在（3）由（1）AD 平面DEF，AD在平面PBG内，过P作交BG的延长线与O，PO在平面PBG，。连接OA，则为直线PA与平面ABCD所成的角，,法二：（1）取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG。延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设,由于平面DEF。（2），取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取(3)由(2) 平面ABCD的法向量,13.(1)证法一:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FGBC,FG=12BC,在ABCD中,M是线段AD的中点,则AMBC,且AM=12BC,因此FGAM且FG=AM.所以四边形AFGM为平行四边形.因此GMFA.又FA平面ABFE,GM平面ABFE,所以GM平面ABFE.证法二:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GNFB.在ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MNAB.因为MNGN=N,ABFB=B,所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN,所以GM平面ABFE.(2)解法一:因为ACB=90,所以CAD=90.又EA平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直.分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又EF=12AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBC=0,mBF=0,所以y1=0,x1=z1.取z1=1,得x1=1,所以m=(1,0,1).设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),则nAB=0,nBF=0,所以x2=y2,z2=0.取y2=1,得x2=1,则n=(1,1,0).所以cos=mn|m|n|=12.因此二面角A-BF-C的大小为60.解法二:由题意知,平面ABFE平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CHAB.则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,则CRBF.所以HRC为二面角A-BF-C的平面角.由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,连接FH,则FHAB.又AB=22,所以HF=AE=1,BH=2.因此在RtBHF中,HR=63.由于CH=12AB=2,所以在RtCHR中,tanHRC=263=3.因此二面角A-BF-C的大小为60.14.（2012年江西）在三棱柱中，已知，在在底面的投影是线段的中点。（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值。15、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.（）求证：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （）若二面角A-B1EA1的大小为30，求AB的长.【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.16.（本小题共13分) 如图，在三棱锥中，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。16、方法一：（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz1分则，3分由此可得，所以，即5分（II）解：设，7分设平面BMC的法向量，平面APC的法向量由得即10分由即得 12分由解得，故AM=3。综上所述，存在点M符合题意，AM=3。13分方法二：（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得，又平面ABC，得因为，所以平面PAD，故5分（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，由（I）中知，得平面BMC，又平面APC，所以平面BMC平面APC。在在，在所以在又从而PM，所以AM=PA-PM=3。13分13、（山东理19） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小审题线路图：请同学们自己写写4.(1)证法一:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FGBC,FG=12BC,在ABCD中,M是线段AD的中点,则AMBC,且AM=12BC,因此FGAM且FG=AM.所以四边形AFGM为平行四边形.因此GMFA.又FA平面ABFE,GM平面ABFE,所以GM平面ABFE.证法二:因为EFAB,FGBC,EGAC,ACB=90,所以EGF=90,ABCEFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GNFB.在ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MNAB.因为MNGN=N,ABFB=B,所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN,所以GM平面ABFE.(2)解法一:因为ACB=90,所以CAD=90.又EA平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直.分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).又EF=12AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则mBC=0,mBF=0,所以y1=0,x1=z1.取z1=1,得x1=1,所以m=(1,0,1).设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),则nAB=0,nBF=0,所以x2=y2,z2=0.取y2=1,得x2=1,则n=(1,1,0).所以cos=mn|m|n|=12.因此二面角A-BF-C的大小为60.解法二:由题意知,平面ABFE平面ABCD,取AB的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CHAB.则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,则CRBF.所以HRC为二面角A-BF-C的平面角.由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE中,连接FH,则FHAB.又AB=22,所以HF=AE=1,BH=2.因此在RtBHF中,HR=63.由于CH=12AB=2,所以在RtCHR中,tanHRC=263=3.因此二面角A-BF-C的大小为60.几何法构 建 答 题 模 板第一步：根据条件合理转化第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分第三步：写出结论第四步：将所求角或距离具体化第五步：计算角或距离第六步：反思回顾查看关键点，易错点及答题规范.第五、六、七步简化为：作辅助线证明-解直角三角形检验。5、（探究性问题）如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点(1)求证：PB平面EFG；(2)求异面直线EG与BD所成角的余弦值；(3)在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由5、(1)证明平面PAD平面ABCD，而PAD90，PA平面ABCD.又ABCD为正方形，PA、AB、AD两两垂直以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)，设(y，xy，y)，x2，y2.存在实数x，y使共面，又PB在平面EFG外，PB平面EFG.（2）解：设异面直线EG，BD的夹角为，由题意得：.故异面直线EG与BD所成角的余弦值为.(3)解假设在线段CD上，存在一点Q满足题意，则Q点坐标可设为