第32讲 相互独立的随机变量 (II)

四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 3 3 4 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 McGill 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 4 四川大学四川大学 第第32讲讲 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 II 泸州泸州 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 5 定义定义 随机变量的独立性随机变量的独立性 设设 F x y 是二维随机变量是二维随机变量 X Y 的联合分布的联合分布 函数函数 FX x 和和FY y 分别是分别是 X Y 关于关于X和关和关 于于Y的边缘分布函数的边缘分布函数 若对于任意实数若对于任意实数 x 和和 y 有有 即即 则称随机变量则称随机变量X和和Y相互独立相互独立 P Xx YyP Xx P Yy XY F x yF x F y 联合分布函数等于边缘分布之积联合分布函数等于边缘分布之积 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 6 若对于任意实数若对于任意实数 x 和和 y 有有 即即 则称随机变量则称随机变量X和和Y相互独立相互独立 P Xx YyP Xx P Yy XY F x yF x F y 即即X和和Y相互独立当且仅当它们的联合分布函相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积数等于关于它们的边缘分布函数的乘积 这时这时 联合分布可由边缘分布唯一确定联合分布可由边缘分布唯一确定 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 7 可以证明可以证明 对于连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量 X Y X和和Y相互独立当且仅当相互独立当且仅当 在平面上几乎处处成立在平面上几乎处处成立 即等式不成立的点即等式不成立的点 构成集合的构成集合的 测度测度 面积面积 等于零等于零 若对于任意实数若对于任意实数 x 和和 y 有有 即即 则称随机变量则称随机变量X和和Y相互独立相互独立 P Xx YyP Xx P Yy XY F x yF x F y XY f x yfx fy 联合密度等于联合密度等于 边缘密度之积边缘密度之积 这时这时 联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 8 对于连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量 X Y X和和Y相互相互 独立当且仅当独立当且仅当 XY f x yfx fy 此时此时 在条件在条件Y y下下 X 的条件概率密度的条件概率密度 X Y Y f x y fx y fy XY Y fx fy fy X fx 同理同理 在条件在条件X x下下 Y 的条件概率密度的条件概率密度 Y X X f x y fy x fx Y fy 条件概率密度条件概率密度 等于边缘密度等于边缘密度 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 9 例例 子子 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 10 例例5 设二维随机变量设二维随机变量 X Y 的联合密度为的联合密度为 问问 X与与Y是否相互独立是否相互独立 1 4 1 1 0 xyxy f x y 其他 解解 11 1 1 D 用以下等式验证独立性用以下等式验证独立性 XY f x yfx fy f x y 的非零区域为的非零区域为 D 需求边缘概率密度需求边缘概率密度 四川大学四川大学 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 11 四川大学四川大学四川大学四川大学 11 1 1 D 1 4 1 1 0 xyxy f x y 其他 X fxf x y dy 当当 x 1时时 f x y 0 0dy 0 当当 x 1时时 X fxf x y dy 1 1 1 4 xy dy 11 11 1 4 dyxydy 1 2 0 4 1 2 奇函数奇函数 1 2 1 0 X x fx 其他 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 12 11 1 D 1 4 1 1 0 xyxy f x y 其他 1 2 1 0 X x fx 其他 类似可得类似可得 由对称性由对称性 1 2 1 0 Y y fy 其他当当 0 x 1 0 y 1时时 XY fx fy 1 1 22 1 4 1 1 4 xy f x y X与与Y 不相互独立不相互独立 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 13 例例6 设随机变量设随机变量 X Y 具有分布函数具有分布函数 证明证明 X Y 相互独立相互独立 1 0 01 1 0 1 0 0 x x ey xy F x yexy 其他 证证 欲证欲证 XY F x yF x F y X F x F x lim y F x y Y F y Fy lim x F x y 其中其中 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 14 1 0 01 1 0 1 0 x x ey xy F x yexy 其他 Y F ylim x F x y lim X y FxF x y 1 0 0 0 x exy 其他 01 1 1 0 yy y 其他 lim0 x x e 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 15 1 0 01 1 0 1 0 x x ey xy F x yexy 其他 1 0 0 0 x X exy Fx 其他 01 1 1 0 Y yy F yy 其他 0 01xy 时 XY Fx F y 1 x e y 0 1xy 时 XY Fx F y 1 x e 1 F x y 其他情况其他情况 x 0 0 X Fx 0 XY Fx F y F x y XY F x yF x F y 处处成立处处成立X Y 相互独立相互独立 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 16 例例7 设设X与与Y相互独立相互独立 X U a b 0 a b Y e 求求 1 f x y 2 P Y X 1 0 X axb fxb a 其他 解解均匀分布均匀分布 0 0 0 y Y ey fy y 指数分布指数分布 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 17 求求 1 f x y 1 0 X b a axb fx 其他 f x y 的非零区域为的非零区域为 D 0 0 0 y Y ey fy y ba D 0 0 0 y e axb y f x y b a 其他 XY f x yfx fy 1 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 18 求求 2 P Y X ba D 0 0 0 y e axb y f x y b a 其他 P YX y x f x y dxdy yx G y G e dxdy b a 0 1 a y bx dxey b a d 1 1 b a x d b ex a 0 0 x yy x edye 1 ba ee b a 1 b xx b a a edxe 2 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 19 例例8 设设X与与Y相互独立相互独立 且都服从正态分布且都服从正态分布 求求 X Y 的联合概率密度的联合概率密度 f x y 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe 解解 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye 2 11 XN 2 22 YN x y 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 20 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye XY f x yfx fy X Y 的联合概率密度的联合概率密度 22 12 22 12 22 12 11 22 xy ee 22 12 22 12 22 12 1 2 xy e 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 21 XY f x yfx fy X Y 的联合概率密度的联合概率密度 22 12 22 12 22 12 1 2 xy e 2 1 22 2 1 12 2 122 2 122 11 exp 2 1 21 2 x f x y xyy 则正是则正是 0时的二维正态分布时的二维正态分布 22 1212 XYN 即即 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 22 二维正态随机变量二维正态随机变量 X Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 2 1 22 2 1 12 2 122 2 122 11 exp 2 1 21 2 x f x y xyy 其边缘概率密度为其边缘概率密度为 3 2节节 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 23 四川大学四川大学四川大学四川大学 1 22 2 1 12 2 122 2 122 11 exp 2 1 21 2 x f x y xyy 若若 则则0 22 12 22 1212 11 exp 22 xy f x y 2 1 2 1 2 1 1 2 x e 2 2 2 2 2 2 1 2 y e X fx Y fy X与与Y 相互独立相互独立 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 24 2 1 22 2 1 12 2 122 2 122 11 exp 2 1 21 2 x f x y xyy XY f x yfx fy 反之反之 若若X与与Y 相互独立相互独立 有有 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye 将将代入代入 得得 12 xy 2 12 12 11 2 21 0 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 25 1 22 2 1 12 2 122 2 122 11 exp 2 1 21 2 x f x y xyy 结论结论 二维正态随机变量二维正态随机变量 X Y 中的中的 X 和和 Y 相互独立相互独立 的充分必要条件是参数的充分必要条件是参数 相关系数相关系数 2 1 2 1 2 1 1 2 x X fxe 2 2 2 2 2 2 1 2 y Y fye 0 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 26 例例9 甲到达学校的时间均匀分布在甲到达学校的时间均匀分布在8 12 时时 乙到达学校的时间均匀分布在乙到达学校的时间均匀分布在7 9时时 设两人到达学校的时间相互独立设两人到达学校的时间相互独立 求他们求他们 到达学校的时间相差不到到达学校的时间相差不到5分钟分钟 1 12小时小时 的概率的概率 解解 设设X和和Y分别是甲和乙到达学校的时间分别是甲和乙到达学校的时间 则则 X U 8 12 Y U 7 9 14 812 0 X x fx 其他 12 79 0 Y y f y 其他 它们的概率密度分别是它们的概率密度分别是 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 27 14 812 0 X x fx 其他 12 79 0 Y y f y 其他 因为因为X和和Y相互独立相互独立 XY f x yfx fy 18 812 79 0 xy 其他 812 9 7 D 812 79 Dx yxy 的面积是的面积是 8 即即 X Y 服从服从D上的均匀分布上的均匀分布 X Y 的概率密度的概率密度 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 28 18 812 79 0 xy f x y 其 他 812 9 D 求他们到达学校的时间相差不到求他们到达学校的时间相差不到5分钟分钟 1 12小时小时 的概率的概率 所求概率所求概率 1 12 P X Y 1 12 x y f x y dxdy 1 8 G dxdy 1 8 S S是是G的面积的面积 1 812 79 12 Gx yx yxy 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 29 四川大学四川大学四川大学四川大学 2 11 88 1212 yxxyB 812 9 7 D 1 812 79 12 Gx yx yxy 1 12 x y 11 1212 y x 1 11 99 1212 yxyxA 11 1212 xyx 2 11 88 1212 yxxyA 12 yx 1 11 99 1212 yxyxB 1 12 yx 1 2 A 1 B 2 B G 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 30 2 1 8 8 12 B 9 7 D 1 1 9 9 12 A 2 1 8 8 12 A 1 1 9 9 12 B 1 A 2 A 1 B 2 B G C G的面积的面积S A1CA2的面积的面积 B1CB2的面积的面积 22 111 1 1 21212 11 2 26 1 6 1 12 P X Y 1 8 G dxdy 1 8S 1 48 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 31 考研题评讲考研题评讲 四川大学四川大学第32讲 相互独立的随机变量 II 32 1990年数学三年数学三 第十题第十题 一电子仪器由两个