现代设计方法基础优化设计PPT课件.pptVIP

第三章优化设计3 1概述 1 基本思想优化设计 OptimumDesign 是60年代发展起来的一门新的设计方法 是最优化技术和计算技术在设计领域中应用的结果 其核心内容是数学规划和计算机技术 优化方法可以从众多设计方案中找到最完善也是最合理的设计 可以同时改善设计质量和提高效率 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 解析法 数值计算法 优化方法 微分求极值 迭代逼近最优值 计算机 优化设计 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 1概述 2 实际效果1 一级减速器优化 某单位对在各种工程和设备中广泛使用的一级减速器进行优化设计后 其重量减轻了12 这对于减速器这样大批量生产和使用的基本设备来说 其经济效益和社会效益是非常巨大的 2 桥式起重机箱形主梁优化 某起重机制造厂对其生产的不同规格的20台桥式起重机箱形主梁进行了优化设计 重量平均减轻了14 其中最大的减轻了35 主梁是桥式起重机的主要组成部分 一般在几吨甚至十几吨以上 优化设计后 降低的钢材量和能源消耗是显而易见的 3 柴油机 变矩器和变速箱的匹配对于车辆的性能和油耗来说是非常重要的 以前 设计人员只能通过经验和试凑的方式进行匹配 由于涉及的参数太多 无法实现最佳匹配 通过采用现代优化设计方法对这三者进行了最佳匹配后 车辆的性能大大提高 油耗降低 三者的最大效能得到了很好的发挥 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下 优选设计参数 使某项或几项设计指标获得最优值 什么叫机械优化设计 工程设计上的 最优值 Optimum 或 最佳值 系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值 BICEAJDXMengXianyi2005 3 从传统设计到优化设计 机械设计一般需要经过调查研究 资料检索 拟订方案 设计模型 分析计算 论证方案 绘图和编制技术文件等一系列的工作过程 图1 1传统的机械设计过程 BICEAJDXMengXianyi2005 3 图1 3机械优化设计过程框图 5 第三章优化设计3 1概述 3 特点1 优化设计可以自行调整变量2 优化设计可以通过计算机进行快速运算 分析 在多个设计方案中选择最佳设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 1 设计的思想是最优设计 2 设计的方法是优化方法 3 设计的手段是计算机 BICEAJDXMengXianyi2005 3 可编辑 机械优化设计的发展概况 近几十年来 随着数学规划论和电子计算机的迅速发展而产生的 它首先在结构设计 化学工程 航空和造船等部门得到应用 1 优化设计的应用领域 国内近年来才开始重视 但发展迅速 在机构综合 机械的通用零部件的设计 工艺设计方面都得到应用 2 目前机械优化设计的应用领域 在机械设计方面的应用较晚 从国际范围来说 是在上世纪60年代后期才得到迅速发展的 3 优化设计本身存在的问题和某些发展趋势主要有以下几方面 1 目前优化设计多数还局限在参数最优化这种数值量优化问题 结构型式的选择还需进一步研究解决 BICEAJDXMengXianyi2005 3 2 优化设计这门新技术在传统产业中普及率还不高 3 把优化设计与CAD 专家系统结合起来是优化设计发展的趋势之一 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 1概述 4 简例3 1 悬臂梁截面设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 p d M l 悬臂梁受到集中力和转矩作用 优化梁的直径和尺度 达到质量最轻 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 1概述 5 简例3 2 角支架设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 结构优化问题 优化尺寸 使得结构质量最小 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 1概述 6 简例3 3 装载机翻斗机构设计结构尺寸设计 以各连杆坐标为设计参数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 2 1设计变量与设计空间1 设计变量在优化设计的过程中 不断进行修改 调整 一直处于变化的参数称为设计变量 设计变量是表达设计方案的一组基本参数 设计变量是对设计性能指标好坏有影响的量 设计变量应在设计过程中选择 且应是互相独立的参数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 2 设计空间在一个设计问题中 所有的设计变量组成一个设计空间 变量的个数就是这个空间的维数 设计变量的全体实际上是一组变量 可用一个列向量表示 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 2 2约束函数1 约束的定义在优化设计中 为了得到可行的设计方案 必须根据实际要求 对设计变量的取值加以种种限制 这种限制称之为设计约束 1 边界约束 变量取值范围2 性能约束 2 可行设计域和不可行设计域1 可行设计域 凡满足所有约束条件的设计点 它在设计空间的活动范围 2 不可行设计域 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 内点 外点和边界点1 内点 若X D 且满足gu x1 x2 xu 0 u 1 2 m 称为内点或可行设计方案 2 外点 若X 3 不满足gu x1 x2 xu 0 u 1 2 m 称为外点 或不可行设计方案3 边界点 若gj X 2 0 则称X 2 为边界点 j约束称为起作用约束 1 j m 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 2 3目标函数目标函数是设计变量的函数 是设计中所追求的目标 如 轴的质量 弹簧的体积 齿轮的承载能力等 在优化设计中 用目标函数的大小来衡量设计方案的优劣 故目标函数也可称评价函数在机械设计中 目标函数主要根据设计准则建立 例如 在机构优化中 运动误差 主动力 约束反力的最大值等可以设定为目标函数 在结构优化中 重量 效率和可靠性等可以设定为目标函数 在产品设计中 成本 价格和寿命等可以设定为目标函数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 2 4优化设计的数学模型1 一般形式寻找X x1 x2 xn Rn使f X 最小或最大受约束于gu X 0 u 1 2 m hv X 0 v 1 2 p n 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 2 类型1 约束优化有约束函数的优化称为约束优化设计问题 其极小点在可行域内或在可行域边界上2 无约束优化无约束函数的优化称为无约束优化设计问题 其极小点在目标函数等值面的中心 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 3 优化设计的几何解释 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 f x x1 2 x2 2 不同等值线代表目标函数不同水平的值 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 约束优化模型 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 4 建立数学模型应注意的几个问题1 应尽量使模型规模适当 2 建立数学模型的步骤 3 处理好模型与优化方法的选择关系 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 5 例3 4脚手架设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 6 例3 5立柱设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 2优化设计的数学模型 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 3优化设计基本方法 1 数值迭代方法X k 1 X k S k 3 6 其中X k 第k步的迭代点X k 1 新的迭代点S k 第k步的搜索方向 步长 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 优化问题的解法有解析法 图解法和数值法等 工程问题是非线性 多约束 多变量问题 适合采用数值迭代方法 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 3优化设计基本方法 2 收敛准则1 两点距离准则当相邻两个迭代点之间的距离已达到充分小时 2 目标函数准则当相邻两迭代点的目标函数已达到充分小时 3 目标函数的梯度当当前迭代点目标函数的梯度已充分小时 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 3优化设计基本方法 3 迭代步骤1 定义一个初始值X 0 以及收敛误差 2 确定搜索方向S k 3 选取步长因子 k 根据公式3 6 得到新的迭代点X k 1 4 收敛的判定 若X k 1 满足收敛要求 则看作为期待点 迭代结束 否则 继续从X k 1 迭代 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 数值迭代法的关键问题 1 搜索方向影响迭代效率 2 步长因子影响迭代效率 3 收敛准则影响迭代精度 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 4一维搜索方法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 原原理理 称为一维搜索 是优化搜索方法的基础 数值法的基本思路 确定的搜索区间 在不断缩小区间 最终获得近似值 BICEAJDXMengXianyi2005 3 可编辑 从前面的分析可知 每次缩短区间 只需要在区间内在插入一点并计算其函数值 而插入点的位置 可以由不同的方法来确定 就形成了不同的一维搜索方法 3 第三章优化设计3 4一维搜索方法 3 4 1确定初始区间的方法1 给出初始值x0和步长h 令x1 x f1 f x1 2 求出x 点 x x h令f f x 3 比较f1 f 若f1 f 则令h 2h 转到4 若f1 f 则令h h 令x x1 f f x 4 求出第三个点x x x h令f f x 比较f f 若f f 则初始区间为 a b x1 x3 即连续三个函数值呈现 高 低 高 变化 图3 14a 若f3 f 则增加步长 令h h x x x x 回到4 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 4一维搜索方法 3 4 20 618法 黄金分割法GoldenSectionMethod 1 等比搜索 每一次区间的缩短率不变 2 对称取点 所插入两点在区间中位置对称 设在区间 a b 内插入2点 表达式为 x a 1 b a x2 a b a 0 1 3 7 式中 为区间缩短率 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 4一维搜索方法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 要求插入点a1 a2的位置相对于区间 a b 两端点具有对称性 除对称要求外 黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点所形成的区间新三段 与原来区间的三段具有相同的比例分布 BICEAJDXMengXianyi2005 3 2 所谓的 黄金分割 是指将一线段分成两段的方法 使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段的比值 即 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 4一维搜索方法 1 确定一个初始区间 a b 与收敛精度要求 2 计算x a 0 618 b a f2 f x2 3 计算x a 0 382 b a f1 f x1 4 收敛性判定 若当前区间非常小 且 b a 则迭代结束 其区间的中点作为极值点 否则 继续迭代 转向步骤5 5 若f1 f 区间 a b 缩小为 a x 如图3 17a 令b x x x f f1 然后转3 若f1 f 区间 a b 缩小为 x1 b 如图3 17b 令a x x1 x2 f1 f2 然后计算x a 0 618 b a f2 f x2 转4 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 解析法 数值法 数学模型复杂时不便求解 可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题 搜索方向问题是无约束优化方法的关键 各种无约束优化方法的区别 确定搜索方向的方法不同 无约束优化方法分类 利用目标函数的一阶或二阶导数 利用目标函数值 最速下降法 共轭梯度法 牛顿法 坐标轮换法 鲍威尔等 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 BICEAJDXMengXianyi2005 3 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 3 5 1Powell法1 共轭方向如果从共心出发作一任意向量 再过与某等值线的交点作该等值线的切线向量 图3 18 可以证明 这时两个向量是共轭的 也就是说等值线上的切线方向与切点和共心的连线方向关于A是共轭的 若沿上述方向迭代两步就可以得到极小点 如果是n维二次正定函数 同样沿n个共轭方向 n步就可以收敛到最小点 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 2 共轭方向法首先确定初始点 开始第一轮选代 从初始点出发 沿三个坐标方向各进行一次一维极小化得 然后构成一个新方向 在新方向上求得极小点 第二轮选代 将原方向中第一个方向抛掉 构成新的方向组 从新的初始点出发 沿这三个方向分别再进行一维极小化 再构成新的方向 沿此方向又可得极小点 进行第三轮选代 依此类推 可以证明 此法产生的三个方向构成了共轭方向 因此对于n维问题来说 n轮以后形成的搜索方向就是互相共轭的 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 3 Powell法 修正的共轭方向法 1 设立共轭性判别在K轮迭代中 分别计算三个点的目标函数值 2 新方向的组成将原方向中下标号为的方向去掉 同时加入一个刚形成的新方向 但此方向要放在新方向组的最后 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 迭代方向判断 3点函数 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 3 5 2变尺度法1 多元函数的泰勒展开 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 2 梯度的概念梯度方向是指函数增长最快的方向 反之 负梯度是函数下降最快的方向 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 3 梯度法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 负梯度是当前点处函数下降最快的方向 因此用当前点的负梯度方向构建迭代方向 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 4 牛顿法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 用探索点xk处的二阶Taylor展开式近似代替目标函数 以展开式的最小点为新的探索点 BICEAJDXMengXianyi2005 3 变尺度法的基本思想 前面讨论的梯度法和牛顿法 它们的迭代公式可以看作下列公式的特例 变尺度法是对牛顿法的修正 它不是计算二阶导数的矩阵和它的逆矩阵 而是设法构造一个对称正定矩阵H来代替Hesse矩阵的逆矩阵 并在迭代过程中 使其逐渐逼近H 1 由于对称矩阵H在迭代过程中是不断修正改变的 它对于一般尺度的梯度起到改变尺度的作用 因此H又称变尺度矩阵 5 变尺度法 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 5无约束优化设计方法 5 变尺度法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 可编辑 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 1 直接解法在这类方法中 直接在可行域中 通过一定的模式比较点的函数值和约束值大小 决定搜索方向 这类方法如网格法 随机试验法 随机方向搜索法 复合形法 可行方向法等 各种方法的特点为 网格法 随机试验法 随机射线法 复合形法等 只用于求解有不等式约束问题 方法直观 容易理解 可行方向法 程序较复杂 适用于大型优化问题 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 2 间接解法特点是首先将有约束问题转化为一个无约束问题 然后按无约束问题求解 如 消元法 用某些变换技巧消去约束条件 但实际应用有限 拉格朗日乘子法 将目标函数与约束条件按一定方法构成一个新的目标函数 但常常要解一组线性方程 应用受到限制 惩罚函数法 主要是SUMT法 应用较广泛 乘子法 按一定方式构成新函数 但无病态 且收敛快 近年来该法发展较快 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 6 1复合形法复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直接解法它的基本思路是在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合形 对该复合形各顶点的目标函数值进行比较 找到目标函数最大的顶点 最坏点 然后按一定的法则求出目标函数值有所下降的可行的新点 并用此点代替最坏点 构成新的复合形 复合形的形状没改变一次 就向最优点移动一步 直至逼近最优点 由于复合形的形状不必保持规则的图形 对目标函数和约束函数无特殊要求 因此这种方法适应性强 在机械优化设计中应用广泛 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 6 1复合形法1 基本原理第一步 在可行域内产生K个初始点 以这K个初始点为顶点构成一个不规则的多面体 第二步 对复合形调优迭代 利用复合形各顶点函数值大小的关系 判断目标函数值下降的方向 即丢掉最坏点 目标函数值最大的点 代之使下降 又满足的新点 如此重复 使复合形不断向最优点移动和收缩 直至达到一定的收敛精度 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 2 初始复合形的产生可以给定一个点 两个点以至全部点或全部由计算机产生K个点 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 迭代步骤1 计算K个点的目标函数值 其中最大值对应的点为坏点2 计算除最坏点外的其余个顶点的形心3 若在可行域内 则从至点的方向取一映射点4 计算若 则5 若则转向4 否则 若仍无改进 转向2 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 复合形法的特点1 不需要计算导数 也不需要进行一维优化搜索 2 程序简单 适用性广 为常用方法之一 3 当设计变量和约束函数多时 迭代效率较低 所以 采用本方法时 可按以下规则确定复合形的顶点数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 例3 6 圆柱形螺旋压缩弹簧的优化设计问题设计一圆柱形螺旋压缩弹簧 要求其质量最轻 弹簧材料为65Mn 最大工作载荷FMAX 40N 最小工作载荷为0 载荷变化频率f 25Hz 弹簧寿命为104h 弹簧钢丝直径的取值范围为1 4mm 中径D2的取值范围为10 30mm 工作圈数不应小于4 5圈 弹簧旋绕比不应小于4 弹簧一端固定 一端自由 工作温度为50 弹簧变形量不小于10mm 解 在弹簧的优化设计中 为减小计算规模 多数情况下取弹簧钢丝直径d 中径D2及工作圈数n为设计变量 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 1 疲劳强度条件2 刚度条件3 不发生失稳条件4 不产生共振条件5 旋绕比条件6 设计变量取值条件这个问题是一个三维约束优化问题 有11个不等约束 目标函数和所有的约束条件是设计变量的非线性函数 因此 它属于非线性约束优化问题 这样的问题不能用极值条件精确求解 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 6 2惩罚函数法1 概述惩罚函数法是一种将有约束优化问题转换成无约束优化问题的计算方法 属于间接算法 其基本思想是用原问题的目标函数和约束函数构建一个新的目标函数 也就是在新的目标函数中包含原函数和所有的约束函数 另外再引进一个可变的惩罚因子 当惩罚因子不断变化时 将得到一系列函数 求解每个新的目标函数的极值 直至收敛到原问题的最优点 由于每一次都是在求解无约束优化问题 惩罚函数法也被称作序列无约束极小化技术 SequentialUnconstrainedMinimizationTechnique 缩写为SUMT 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 根据惩罚因子或加权因子在惩罚函数中的作用 分别称障碍项和惩罚项 障碍项的作用是当迭代点在可行域内时 在迭代过程中将阻止迭代点越出可形域 惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时 在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面 按照惩罚函数在优化过程中迭代点是否可行 分为 内点法 外点法及混合法 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 例3 7 转轴优化设计设计一中间固定有重块的转轴 轴以速度 转动 为了使轴稳定转动 要求轴的固有频率高于旋转速度 在这个条件的基础上设计这根轴使它的质量最小 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 2 内点法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 内点法将新目标函数定义于可行域内 这样它的初始点及后面的迭代点序列必定在可行域内 采用内点法只能求解具有不等式约束的优化问题 转化后的惩罚函数形式为 障碍项 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 外点法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 外点法是将惩罚项函数定义于可行区域的外部 序列迭代点从可行域外部逐渐逼近约束边界上的最优点 外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题 BICEAJDXMengXianyi2005 3 惩罚因子 它是由小到大 惩罚项 转化后的外点惩罚函数的形式为 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 4 讨论1 构建罚函数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 2 初始点的选择在内点法中 要求初始点严格满足所有约束条件 即也不应为边界上的点 且最好离边界远一些 初始点应选离约束边界较远的可行点 程序设计时 一般 考虑具有人工输入 和计算机自动生成可行初始点的两种功能 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 3 的选择 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 惩罚因子的初值选取应适当 否则会影响迭代计算的正常进行 太大会影响迭代次数 太小会使惩罚函数的形态变坏 难以收敛到极值点 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 4 递减 增 系数C的选择一般认为C不是决定性的因素 因为对于内点法来说 如果C值取得小一点 则以较少的循环次数 就可获得一定精度的极值点 但每次的选代次数多 反之 若C取得大一些 结果与上述情况相反 外点法也有类似的情形 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 5 选代终止准则 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 外点法的特点 1 初始点可以任选 但应使各函数有定义2 对等式约束和不等式约束均可适用3 仅最优解为可行设计方案4 一般收敛较快5 初始罚因子要选择得当6 惩罚因子为递增 递增率c有c 1 内点法的特点 1 初始点必须为严格内点2 不适于具有等式约束的数学模型3 迭代过程中各个点均为可行设计方案4 一般收敛较慢5 初始罚因子要选择得当6 罚因子为递减 递减率c有0 c 1 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 6约束优化设计方法 5 计算举例 例3 8 两杆桁架 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 3 7 1尺度变换 1 设计变量的尺度变换设计变量因量纲不同 数量级可能相差很大 造成函数病态 所以需要将设计变量无量纲化 使得设计变量的量级一致 设计变量的尺度变换有以下几种 通用变化形式区间变换 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 2 目标函数的尺度变换 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 变换各个坐标 把目标函数的偏心程度降低到最低 加快搜索速度 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 3 约束条件的规格化 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 使所有约束函数的量级一致 改善优化迭代过程 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 例3 9 面积最大化问题的尺度变换面积最大化问题的尺度变换设有矩形周长L 400 试选择边长使其面积A最大 且满足 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 3 7 2多目标问题 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 1 化多目标为单目标法1 主要目标法在P个分目标中选出被认为是最主要的作为主要目标 而将其余个分目标作为约束条件考虑2 线性加权和法分别给各分目标确定加权因子 形成线性加权和的评价函数 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 2 分量排序法按重要程度对排序 然后对分目标函数逐个进行优化 可以先优化最重要的第一个目标 再优化第二个目标 这时将第一个目标转化为辅助约束 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 3 7 3离散优化设计问题1 拟离散法2 离散变量惩罚函数法3 离散搜索法4 随机离散搜索法5 复合形法 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 7机械优化设计的几个问题 3 7 4机械优化设计的一般步骤1 分析机械设计问题 建立优化设计数学模型 2 选择优化方法或合适的商业软件 3 编写计算机程序或学会使用软件 4 准备必要的初始数据并上机计算 5 对最优方案的评价与决策 如不合适 要修改数学模型 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 建立数学模型的基本原则 数学模型的建立要求确切 简洁的反映工程问题的客观实际 数学模型的三要素 设计变量 目标函数 约束条件 1 设计变量的选择 在充分了解设计要求的基础上 应根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次 应尽量减少设计变量的数目 以简化优化设计问题 应注意各设计变量应相互独立 否则会使目标函数出现 山脊 或 沟谷 给优化带来困难 BICEAJDXMengXianyi2005 3 3 约束条件的确定 2 目标函数的确定 把最重要的指标作为目标函数 其余的次要的指标可作为约束条件 对于一般机械 可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数 对应力集中现象尤其突出的构件 则以应力集中系数最小为追求的目标 对于精密仪器 应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数 约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 8应用举例 3 8 1连杆机构的优化设计明确设计要求 确定原始数据 拟订机构运动简图 建立正确的数学模型 目标 变量 约束函数 选用合适的优化方法 拟订初始设计方案 上机解算 对设计结果作图分析 模拟分析 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 8应用举例 例3 10 函数铰链四连杆机构的最优化设计 现代设计方法基础 孟宪颐 高振莉 刘永峰 BICEAJDXMengXianyi2005 3 第三章优化设计3 8应用举例 3 8 2机械结构优化设计结构的优化设计是机械设计中经常遇到的一大类问题 这类问题往往将目标函数设定为重量最轻或体积最小 而将结构的几何尺寸作为设计变量 约束函数大多为性能要求 譬如 强度 刚度 稳定性 频率 可靠度等要求 如果结构复杂 不易计算出结构的响应 还应该采用有限元分析与优化方法联合迭代求解的形式获得最优解 如可采用在3 10中介绍的商业软件ANSYS来进行结构优化 如果结构比