炎德英才大联考·师大附中2015届高三月考试卷(一)理科数学.doc

炎德英才大联考湖南师大附中2015届高三月考试卷（一）数 学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、已知集合M=，N=，若，则实数a的取值范围是 （ ）AA、 B、 C、 D、2、下列四个命题：，； ：，；：，； ：，；开始S=1, k=1输入nS=2Sk=k+1kn?是否输出S结束其中的真命题是（ ）DA、， 、， C、， D、，3、在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出（ ）DA、10 B、11 C、512 D、10244、将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ）CA、 B、 C、 D、5、若实数满足条件，则的最大值为（ ）BA、9 B、11 C、12 D、166、不全相等的五个数具有关系如下：成等比数列，和都成等差数列，则的值为（ ）CA、 B、0 C、2 D、不能确定7、已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x轴、y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）CA、1 B C、2 正视图侧视图俯视图11 D、8、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ ）DA、 B、 C、 D、【解析】如图所示，四面体为正四面体，且棱长为，于是其表面积为。9、若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）BXyO1l1l2-1lA、 B、C、 D、【解析】曲线图象为圆心在，半径为1的圆；曲线：或，表示的是两条直线，其中一条为x轴，另一条为过定点的动直线。如图所示，过点且与圆相切的直线的斜率为，直线的斜率为；要使x轴和直线与圆共有4个不同的交点，必须且只需使直线在直线与之间且不与x轴重合，即有。10、已知集合，其中（）且，则A中所有元素之和等于（ ）DA、3240 B、3120 C、2997 D、2889【解析】由题意可知，各有三种取法，有两种取法（取1或2），由分步计数原理可得共有种方法。当取0，1，2时，各有三种取法，有两种取法，共有种方法，集合A中含有的所有数之和为；同理可得集合A中含有项的所有数的和为；集合A中含有项的所有数的和为；。集合A中含有项的所有数的和为；由分类计数原理知集合A中所有元素之和为+ =。题 号12345678910答 案ADDCBCCDBD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。）11、在ABC中，则= ；B2B1A1A2A2xyOF1F2x12、如右图，椭圆的长轴为，短轴为，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点在平面上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为 ；13、若，则= ；【解析】因为为常数，不妨设为m，则，其原函数（为常数），于是有，即，故。14、在函数（）的图像上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为 ；【解析】，注意到的任意性，所以上式又可等价转化为。而，所以，又当时，所以。15、两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，途中实心点的个数1,5,12,22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，。若按此规律继续下去，则： （1） ；35 （2）若，则n= 。10【解析】根据图形变化规律，可归纳得。三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本小题满分12分）设。（）求函数的最小正周期；（）若函数与的图象关于直线对称，求当时，的最大值。【解析】（）依题设，故函数的最小正周期为。 6分（）方法一：在的图象上任取一点，它关于直线的对称点为，由题设条件，点在函数的图象上，从而 ，当时，从而。因此当时，。 12分方法二：由于区间关于直线的对称区间为，且函数的图象与的图象关于直线对称，故在函数在区间上的最大值就等于在上的最大值。由（）知，当时，相应的，于是。故函数在区间上的最大值为。 12分17、（本小题满分12分）某电视台你举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选。若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛。甲选手通过项目A、B、C测试的概率分别为，且通过各次测试的事件相互独立。（）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由。（）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为，第二项能通过的概率为，第三项能通过的概率为，设他通过海选时参加的测试次数为，求的分布列和期望（用、表示）；并说明甲选手按怎样的顺序测试更有利于他进入正赛。【解析】（）依题意，甲选手不能通过海选的概率为，故甲选手能通过海选的概率为。 3分若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过海选的概率均为，故无论按什么顺序，他能通过海选的概率均为。 5分（）依题设，可知的所有可能取值为。 且由题设，可得，。故的分布列为 123 8分。分别计算当甲选手按CBA，CAB，BAC，BCA， ABC，ACB的顺序参加测试时的的值，得当甲选手按CBA的顺序参加测试时，最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按CBA的顺序参加测试，更有利于进入正赛。 12分ABCDEOM18、（本小题满分12分）如图，ABC的外接圆的半径为5，CE垂直于所在平面，BDCE，CE=4，BC=6，且BD=1，。（）求证：平面AEC平面BCED；（）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成的角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由。【解析】（）证明：BD平面ABC，BDAB，又因为BD=1，故AD=，AB=10=直径长； 3分ABCDEOMxyzACBC，又因为EC平面ABC，所以ECBC。而，所以BC平面ACE；又BC平面BCED，所以平面AEC平面BCED； 6分（）方法一：（向量法）存在。如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则依题设，可得点的坐标：，于是，若设（其中），则，由（1）易得平面ACE的法向量为，设直线 AM与平面ACE所成的角为，则，解之得。 10分所以，存在点M，且时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为。12分方法二：（几何法）如图，作MNCE于N，连结AN，则MN平面AEC，ABCDEOMN故直线AM与平面ACE所成的角为，且MNAN，NCAC。设MN=，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为，得，所以。另一方面，作DKMNBC，得EN=，NC=,而AC=8，故RtANC中，由得，所以，。所以存在点M，且时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为。 12分19、（本小题满分13分）等比数列中的前三项、分别是数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列。（）求此数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和。【解析】（）经检验，当或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；故有，等比数列公比，所以。 5分（）由得，所以 9分 于是，当n为偶数时，； 当n为奇数时，；所以，。 13分20、（本小题满分13分）已知圆：经过椭圆：（）的右焦点F和上顶点B。 （）求椭圆的方程； （）如图，过原点O的射线l与椭圆在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求的最大值。OPCBQMxyF【解析】（）在C：中，令，得，即；令得，于是即有；由得，所以椭圆方程为。 4分方法一：依题意，射线l的斜率存在，设l：（，），并设，由得，所以； 6分由得，所以； 于是。（其中）。 9分设（），则（）；令，得；令，得；令，得；于是在上单调递增，在上单调递减，因此，当时，相应地，取到最大值。 13分方法二：同方法一，得（），设，则由知，且，于是，当且仅当即，时等号成立。此时相应的。综上所述，当时，取到最大值。 13分21、（本小题满分13分）已知函数（）。（）当时，求的单调区间；（）求证：对任