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第五章约束优化问题 第一节 概述机械优化设计中的问题 大多数属于优化设计问题 其数学模型为根据求解方法的不同 可分为直接法 间接法等1 直接法适用于不等式约束的问题可行方向 当设计点沿该方向作微量移动时 目标函数值将下降 且不会越出可行域 1 2 直接解法原理简单 方法适用 其特点是 迭代计算无论何时终止 都可以获得一个比初始点好的设计点 初始点不相同时 可能搜索到不同的局部最优解要求可行域为有界的非空集 即在可行域内存在满足全部条件的点 且目标函数有定义 2 间接法将约束函数进行特殊的加权处理后 和目标函数结合起来 构成一个新的目标函数 即将原约束优化问题转化成一个或一系列的无约束优化问题 3 特点 方法研究成熟 有可靠基础 可以有效地处理具有等式约束的优化问题 选择加权因子较为困难 选择不当 可能会导致计算失败 4 5 第二节随机方向法在可行域内选择一个点作为初始点产生若干个随机方向 选择一个能使目标函数值下降最快的方向为搜索方向从初始点出发 沿该方向以一定的步长进行搜索 得出新点 新点满足约束条件 并目标函数值下降 即完成一次迭代 一 随机数的产生二 初始点的选择1 输入设计变量的上限值和下限值 即ai xi bi i 1 2 n 2 在区间 0 1 内产生n个伪随机数qi i 1 2 n 3 计算随机点x的各分量xi ai qi bi ai i 1 2 n 4 判断随机x是否可行 如可行选为初始点 否则转步骤2重新计算 6 7 三 可行搜索方向的产生1在 1 1 产生伪随机数rij j 1 2 n j 1 2 k 列出单位向量ej2取一实验步长a0 按下列计算k个随机点xj x0 a0ej j 1 2 k k个随机点分布在以x0为中心点a0为半径的超球面上 3计算xj是否为可行点 去除非可行点 计算余下的点的目标函数值 比较其大小 选出目标函数值最小的点xL4比较xL和x0两点的目标函数值 若f xL f x0 则取xL和x0的连线方向为可行搜索方向 否则将步长a0缩小 转步骤2四 搜索步长的确定1初始点移至xL点 x0 xL2从x0点出发沿d方向进行搜索3所用步长a一般按加速步长来确定a tat 1 3 8 第三节复合形法 复合形法是求解约束优化问题的一种重要的方法基本思路 1 在可行域内构造一个具有k个顶点的初始复合型 2 比较k个顶点 找出目标值最大的顶点 最坏点 3 按一定法则求目标函数值有所下降的可行的新点4 用新点代替最坏点 构成新的复合形 逼近一步 转到2继续 复合形的形状不必保持规则图形 对目标函数及约束函数的性态无特殊要求 因此该法的适用性强 在机械优化设计中得到广泛应用 9 10 一 初始复合形的形成复合形法是在可行区域内直接搜索最优点要求初始复合形在可行域内生成生成初始复合形的方法有以下几种1 由设计者决定K个可行点 构成初始复合形 2 由设计者选择一个可行点 其余用随机法产生 11 3 由计算机生成初始复合形的全部顶点 方法是首先随机生成一个可行点 然后按2的方法产生其余点 二 复合形法的搜索方法在可行域内生成初始复合形后 采用不同方法改变其形状 使复合形逐步向约束最优点趋近 方法如下 1 反射 1 计算个顶点目标函数值 求出最好点XL 最坏点XH 2 计算除去最坏点XH外的k 1个顶点的中心点Xc 3 以XC点为中心 将最坏点XH按一定比例进行反射 XR XC a XC XH 式中a 反射系数 一般取a 1 3 4 判别XR反射点的位置若XR可行如果f XR f XH 则XR代替XH否则a缩小0 7倍直至f XR f XH 若XR不可行a缩小0 7倍 12 13 2 扩张当求得的反射点为可行点 且目标数值下降较多 则沿反射方向继续移动 可能找到更好的点XEXE XR b XR Xc 若f XE f XR 扩张成功 用XE代替XR否则扩张失败放弃扩张3 收缩如果在中心点Xc外找不到好的反射点 可以在Xc以内找更好的新点XKXK XH d XC XH d 收缩系数 一般取d 0 74 压缩上述方法都无效 向最好的顶点靠拢 Xj XL 0 5 XL Xj j 1 2 kj不等于L 14 15 三 复合形法的计算步骤1 选择复合形的顶点一般取n 1 K 2n2 找出最好点 最坏点3 计算除最坏点的中心点 判断其是否可行 是转4步 否重新定义上下限值转14 反射5 判断收敛条件 16 第四节惩罚函数法将约束优化问题中的约束经加权转化后 和原目标函数结合成新的目标函数障碍项 迭代点在可行域内阻止越出惩罚项 迭代点在可行域外迫使逼近 17 一 内点惩罚函数法新目标函数定义在可行域内序列迭代点逐步逼近约束边上的最优点只能用来求解具有不等式约束的优化问题对于只具有不等式约束的优化问题转化后的惩罚函数形式为或式中r为惩罚因子 它是由大到小且趋近于0的数列r0 r1 r2 o 18 例 用内点法求问题minf x x12 x22s t g x 1 x1 0解 构造内点惩罚函数 x r x12 x22 rln x1 1 令 x r 0得方程组 当r 4时x r 2 0 Tf x r 4当r 1 2时x r 1 422 0 Tf x r 2 022当r 0 36时x r 1 156 0 Tf x r 1 336当r 0时x r 1 0 Tf x r 1 19 20 21 1 初始点的选择选择离约束边界较远的可行点 可用计算机自动生成 如随机数生成设计点 2 惩罚因子初值r0的选取选取应适当 否则会影响迭代计算的正常进行 太大 增加迭代次数 太小 惩罚函数的性能变坏 甚至不收敛 由于问题多样化 没有一个有效办法 对不同问题 都要经过反复试算 才能确定一个适当的值 1 取r0 1 根据实验的结果 再决定增加或减小r0的值 2 按下列经验公式可以使惩罚函数中的障碍项和原目标函数的值大致相当 22 3 惩罚因子的缩减系数C的选择相邻两次迭代的惩罚因子的关系为rk crk 1 k 1 2 c为惩罚因子的缩减系数 通常取0 1 0 74 内点法收敛条件 23 24 二 外点惩罚函数法序列迭代点从可行域外逐渐逼近约束边界上的最优点可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题新目标函数定义在可行域