质心和质心运动-练习题.pdf

质心和质心运动质心和质心运动 1 质量为 M 长为 L 的小船左端静止靠在岸边 质量为 m m M 的人站在船的右端 人 从船的右端匀速走到船的左端停止 不计阻力 当他向左走到船的左端时 船的左端离岸多 远 2 如图 5 所示 在无风的天空 人抓住气球下面的绳索 和气球恰能静止平 衡 人和气球地质量分别为 m 和 M 此时人离地面高 h 现在人欲沿悬 索下降到地面 试问 要人充分安全地着地 绳索至少要多长 3 图 6 所示 两个倾角相同的斜面 互相倒扣着放在光滑的水平地 面上 小斜面在大斜面的顶端 将它们无初速释放后 小斜面下滑 大斜面后退 已知大 小斜面的质量分别为 M 和 m 底边长分别 为 a 和 b 试求 小斜面滑到底端时 大斜面后退的距离 4 如 图 所 示 无 穷 多 个 质 量 均 匀 分 布 的 圆 环 半 径 依 次 为 2 4 8RRRR 相切于一公共点 则该系统的质心距半径为 R 的最大圆的圆心距离为 5 质量线密度相同 但长度未必相同的三根细棒若能构成一个三角形 试 确定此三角形框架的质心位置 附加题 附加题 6 如图所示的三角形框架是由一个均质三角 板过其几何重心位似的挖去一个小三角板而 得 请简单说明该三角形框架的质心位置 并 解释为何当其边宽度趋于零时 结论与上一题 所述质心不一致 7 如图所示 这是一个由无穷多均质圆板圆心共线的依次相切 而形成的分形质点系 已知左侧最大圆板的半径为 R 若公比 为 k 从左到右相邻两圆板的半径之比 试求系统质心与其圆 心的距离 d 参考答案参考答案 1 解 人向左匀速运动过程中 由于人和船组成的系统所受合外力为零 系统的动量守恒 质心不动 设人对地速度大小为 1 v 到达船左端用时间t 此过程中对地位移大小为 1 x 船速大小为 2 v 船对地位移大小为 2 x 如图所示 由动量守恒定律 有 12 mvMv 而 11 xv t 22 xv t 由图可知 12 xxL 将 代入 得 12 mxMx 由 得 x1 x2 L Mm M x 1 L Mm m x 2 2 解 和人船模型几乎完全相同 此处的绳长对应模型中的 船的长度 充分安全着 地 的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地 整个过程动量守恒 质心不动 设绳长为L mhM Lh mM h M 3 解 和人船模型几乎完全相同 整个过程水平方向动量守恒 质心不动 ab mxMx ab xxab m ab Mm 4 解 以右切点为原点 向左为x轴 则质量依次是 24 m m m 各环对应的坐标分别是 2 4 R R R 根据质心公式 1 1 2 3 n i i i c n i i m r xR m 5 解 设质量线密度为 三棒长为a b c 三棒各自质心位于各棒中点 质量已在图中 标出 由质心组合定理原系统质心即为这三质点系统的质心 质点a b 的质心位于两点连线上的P点处 且有 2 2x yb aba 再由质心组合定理 原系统质心应在P与c 连线上 利用角平分线第二判定定理可得 P 与c 连线为中线三角形的一条角平分线 同理 做出中线三角形的另外两条角分线 其交 点即为所求 故原系统质心位于中线三角形的内心上 6 解 均质三角板的质心在其几何重心处 这可以用微元法证明 将三角板平行于某一底 边分割为无穷多细杆 每条细杆质心均在其中点处 由质心组合定理 原系统质心必在各细 杆中点的连线即底边中线上 这也就是几何重心之所在 两个几何重心重合且位似的三角板其质心均在几何重心处 故该三角形框架质心也位于 几何重心处 当挖去的三角板边长趋于整个三角板的边长时 三角形框架便趋于由三根细棒构成的质 点系 显然其质心仍位于几何重心处 这与上题结论不一致 究其原因所在 是本题中出现 的三根细棒的质量线密度各不相等造成的 由图中几何关系可知 三角形框架各 边 面积相等 所以本题中当框架 边 宽趋于零时 构成的三根细棒是质量相等而不是线密度相等的 7 解 这是一个具有自相似性的分形系统 设dR 取原系统左侧第 1 个圆板外的部分作为新系统 其初始圆板的半径为kR 由自相似性 新系统质心位于第二圆板圆心右侧 dRkR 系统总质量正比于所有圆板的