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第8章优化设计应用实例 1 8 1机械优化设计概述 2 8 1 1优化设计数学模型的分析处理 1 目标函数是首要和关键的一步 是取得正确结果的前提 根据经验 根据理论 建立模型 如果模型复杂 要规范化 如果初始点取在极值点附近 而且模型复杂 可将模型在初始点附近作泰勒变换 使得求解速度加快 常选用的目标函数一般机械 可按重量最轻或体积最小建立目标函数应力集中突出的构件 以应力集中系数最小为目标精密机械 应按精度最高或误差最小建立目标函数所设计的机构的运动规律有明确的要求时 可针对其运动学参数建立目标函数若对机构的动态特性有专门要求 则应针对其动力学参数建立目标函数 3 目标函数的尺度变换 例如 设 则 设 则 8 1 1优化设计数学模型的分析处理 1 目标函数 4 2 设计变量的选择常选用的设计变量在充分了解设计要求的基础上 应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析其主次 尽量减少设计变量的数目 以简化优化设计问题 设计变量应当相互独立 常选用几何尺寸 8 1 1优化设计数学模型的分析处理 5 2 设计变量的选择设计变量的尺度变换 1 可以减少约束条件 2 可以改善灵敏度 例如 模型形如 令 则原模型可转换为 规则 约束 转化方式 2 8 1 1优化设计数学模型的分析处理 6 3 约束条件是工程设计本身提出的对设计变量取值范围的限制条件 边界约束 性能约束选取约束条件时要避免出现互相矛盾的约束 应当尽量减少不必要的约束 8 1 1优化设计数学模型的分析处理 例如 某热压机框架的优化设计中 许用应力 150MPa 下横梁的许用挠度 0 5mm 约束函数为 将约束条件规格化 结论 1 将各约束函数除以各自的约束上限 或下限 使约束函数的值可以限制在 0 1 范围内 2 各约束条件的灵敏度相当 搜索过程是稳定且速度较快 7 1 选择适当的优化方法关键 数学模型的特点通常 目标函数和约束函数均为显函数且设计变量不太多的问题 采用惩罚函数法较好函数易于求导时可利用导数信息的方法为好求导困难的问题则应选用直接法 如复合形法高度非线性的函数 应选用计算稳定项较好的方法 如变尺度法 鲍威尔法和内点惩罚函数法相结合的方法 优化问题的规模的大小 目标函数和约束函数性态 计算精度 计算效率 8 1 2优化方法的选择和结果分析 8 2 分析计算结果结果的合理性 是否合乎常理结果的正确性 是否收敛 8 1 2优化方法的选择和结果分析 9 8 2人字架结构尺寸的优化设计 10 例8 1 图示人字架的两个杆件之间用活动铰链联接 以及杆件与机架之间用固定铰链联接 杆件是壁厚T 2 5mm 平均直径为D的空心钢管 材料的弹性模量E 2 119 105MPa 许用压应力 y 690MPa 人字架顶端受到一个集中力P 294300N作用 根据结构要求 人字架跨距B 1520mm 杆件平均直径的取值范围是 20 D 40 mm 人字架高度的取值范围是 200 H 1200 mm 要求建立在满足人字架强度条件和稳定性条件下 确定人字架件平均直径D和高度H 使人字架用料最省的优化设计数学模型 受力分析图 圆杆截面图 桁杆示意图 11 解 1 建立优化设计的数学模型设计变量 X D H T x1 x2 T目标函数 约束条件 受力分析图 圆杆截面图 桁杆示意图 12 解 1 建立优化设计的数学模型设计变量 X D H T x1 x2 T目标函数 约束条件 强度条件稳定性条件 边界条件 13 解 1 建立优化设计的数学模型设计变量 X D H T x1 x2 T目标函数 约束条件 14 解 2 选择优化函数 编写m文件 eg8 1 mubiao mfunctionf eg8 1 mubiao x f 15 708 x 1 sqrt x 2 2 577600 eg8 1 yueshu mfunction g ceq eg8 1 yueshu x ceq a 18735 72 sqrt 577600 x 2 2 x 1 x 2 g 1 a 690 b 261421 15 x 1 2 6 25 577600 x 2 2 g 2 a b x fval exitflag output grad hessian fmincon fun x0 A b Aeq beq Lb Ub Nlc options P1 P2 x1 x2 15 解 2 选择优化函数 编写m文件 eg8 1 mx0 50 500 lb 20 200 ub 140 1200 初始点上下界 x fn fmincon eg8 1 mubiao x0 eg8 1 yueshu 以下画等高线图xtu1 20 1 140 xtu2 200 10 1400 XTU1 XTU2 meshgrid xtu1 xtu2 FTU 15 708 XTU1 sqrt XTU2 2 577600 C h contour XTU1 XTU2 FTU holdonset h ShowText on TextStep get h LevelStep 2 标高度 以下绘制可行域a 18735 72 sqrt 577600 XTU2 2 XTU1 XTU2 G1 a 690 b 261421 15 XTU1 2 6 25 577600 XTU2 2 G2 a b G3 XTU1 20 G4 140 XTU1 G5 XTU2 200 G6 1200 XTU2 contour XTU1 XTU2 G1 00 holdon 绘制g1约束区域contour XTU1 XTU2 G2 00 holdon 绘制g2约束区域contour XTU1 XTU2 G3 00 holdon 绘制g3约束区域contour XTU1 XTU2 G4 00 holdon 绘制g4约束区域contour XTU1 XTU2 G5 00 holdon 绘制g5约束区域contour XTU1 XTU2 G6 00 绘制g6约束区域 16 解 3 优化结果 g1 X g2 X 47 5144 529 2508 17 8 9弹簧结构参数的多目标优化 18 例8 9 要求设计一个内燃机气门弹簧 工作载荷F 680N 工作行程h 16 59mm 工作频率fr 25Hz 要求寿命N 106循环次数 弹簧丝材料采用50CrVA 许用应力 405MPa 弹簧结构要求 簧丝直径 2 5 d 9 mm 簧丝外径 30 D 60 mm 工作圈数n 3 支承圈数n2 1 8 弹簧指数C 6 弹簧压并高度 b 1 1h 18 25mm 试在满足弹簧的强度条件 刚度条件 稳定性条件 旋绕比条件和结构边界等约束条件下 确定弹簧的簧丝直径d 中径D2和工作圈数n等三个设计参数 使它的结构重量最轻 弹簧自由高度最小和自振频率最高 解 1 建立数学模型 1 确定设计变量X d D2 n T x1 x2 x3 T 19 例8 9 要求设计一个内燃机气门弹簧 工作载荷F 680N 工作行程h 16 59mm 工作频率fr 25Hz 要求寿命N 106循环次数 弹簧丝材料采用50CrVA 许用应力 405MPa 弹簧结构要求 簧丝直径 2 5 d 9 mm 簧丝外径 30 D 60 mm 工作圈数n 3 支承圈数n2 1 8 弹簧指数C 6 弹簧压并高度 b 1 1h 18 25mm 试在满足弹簧的强度条件 刚度条件 稳定性条件 旋绕比条件和结构边界等约束条件下 确定弹簧的簧丝直径d 中径D2和工作圈数n等三个设计参数 使它的结构重量最轻 弹簧自由高度最小和自振频率最高 解 1 建立数学模型 2 建立分目标函数结构重量轻 弹簧自由高度最小 弹簧自振频率最高 20 例8 9 要求设计一个内燃机气门弹簧 工作载荷F 680N 工作行程h 16 59mm 工作频率fr 25Hz 要求寿命N 106循环次数 弹簧丝材料采用50CrVA 许用应力 405MPa 弹簧结构要求 簧丝直径 2 5 d 9 mm 簧丝外径 30 D 60 mm 工作圈数n 3 支承圈数n2 1 8 弹簧指数C 6 弹簧压并高度 b 1 1h 18 25mm 试在满足弹簧的强度条件 刚度条件 稳定性条件 旋绕比条件和结构边界等约束条件下 确定弹簧的簧丝直径d 中径D2和工作圈数n等三个设计参数 使它的结构重量最轻 弹簧自由高度最小和自振频率最高 解 1 建立数学模型 3 建立综合目标函数采用线性加权法 21 解 1 建立数学模型 4 建立约束函数强度条件 弹簧丝截面上的最大扭转剪应力不能超过许用应力弹簧指数条件 弹簧在无导杆或套筒情况下的稳定性条件 无共振条件 刚度条件 边界条件 22 解 2 编写m文件 eg8 9 mubiao1 mfunctionf1 eg8 9 mubiao1 x f1 0 0001886 x 1 2 x 2 x 3 1 8 eg8 9 mubiao2 mfunctionf2 eg8 9 mubiao2 x f2 x 1 x 3 18 25 eg8 9 mubiao3 mfunctionf2 eg8 9 mubiao3 x f3 0 0000028 x 2 2 x 3 x 1 eg8 9 yueshu mfunction g ceq eg8 9 yueshu x ceq g 1 6 841 x 2 0 86 x 1 2 86 1 g 2 6 x 1 x 2 1 g 3 0 18868 x 3 1 3 x 1 18 25 1 g 4 70225 x 2 2 x 3 x 1 1 g 5 0 0041 x 2 3 x 3 x 1 4 1 eg8 9 mubiao mfunctionf eg8 9 mubiao x f 1 0 0001886 x 1 2 x 2 x 3 1 8 f 2 x 1 x 3 18 25 f 3 0 0000028 x 2 2 x 3 x 1 23 解 2 编写m文件 eg8 9 mx0 2 5 30 3 初始点lb 2 5 30 3 ub 9 60 30 x fn fmincon eg8 9 mubiao1 x0 lb ub eg8 9 yueshu x fn fmincon eg8 9 mubiao2 x0 lb