4第2章3节振动理论基础(1)070313.doc

2-3振动理论基础一、单自由度线性系统的振动简化力学模型：运动方程：（(2-3-1）即： （2-3-2）式中：f(t)为系统的激励（输入）：（一）自由振动（即y(t)=0）运动方程： （2-3-2）1.无阻尼自由振动系统（c=0）(1)微分方程及其解： （2-3-2）令为无阻尼单自由度线性振动系统的固有频率。运动方程可写为： （2-3-3）此方程的解为： （2-3-4）若记 （2-3-5）则有： （2-3-6）将（2-3-5）、（2-3-6）式代入方程（2-3-4）式，并利用三角关系式: 可得 简谐振动式中（振幅）、（初始角）取决于初始条件x(0)、(0)；若将初始条件（t=0时），x=x0，代入（2-3-4）式可得：所以： (2-3-8)比较（2-3-4）式与（2-3-8）式，并应用（2-3-6）式可得： （2-3-9）若令可求得方程的解为：式中：由此可见，振动体在线性恢复力作用下的自由振动是简谐振动，振动中心在平衡位置。（nt+）称为相位，为初相位。（2）周期和频率简谐振动：固有频率f与周期T互为倒数，即:又简谐运动的圆频率 可见，系统的固有圆频率n只取决于振动体的质量m和弹簧常数k，而与运动的初始条件无关。将中可得： （3）弹簧的等效刚度(a)两弹簧串联（如图a所示）时，两个弹簧的部伸长分别为：则两串联弹簧的总伸长应等于两个弹簧的部伸长之和，即：又 （K为两弹簧的总刚度或等效刚度）即： 推广到几个弹簧串联时（b）两弹簧并联（如图b所示）时，两弹簧的压力分别为： 故设两并联弹簧的总刚度为K（等效刚度），于是： 推广到几个弹簧并联时： （2316）2.阻尼自由振动系统（衰减振动）（c0）当振体以不大的速度在流体介质（如空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻力的大小与振体速度成正比，即：R=-CV 式中：C为粘性阻尼系数，它取决于振体的形状、大小和介质的性质，单位为牛顿秒米()单自由度阻尼自由振动系统的运动微分方程可写为： （2317）式中：称为粘性阻尼因子（也称阻尼比或阻尼系数）称为临界阻尼系数方程（3217）的解为：（复数形式） （2318）式中：A为常数，S为复数。将式（3218）代入（3217）式，可得系统的特征方程：特征方程的解为： （2320）方程（2317）的通解为： （2321）（2321）讨论 时，为弱（小）阻尼，s1,s2为两共轭复根。若令为阻尼系统自由振动的频率。（代入2321中）则有： （2322）利用数学关系式 并令 则有： （2-3-23）式中：d，不变，对于，当t振幅X(t)，指数衰减直至消失。小阻尼系统自由振动的响应如图2-6所示（书P13）其中为振动响应的包络线。振动周期为响应曲线上相邻波峰之间在时间坐标上的距离。通过实验，度量出值后可求得：可见，在小阻尼情况下，振动周期略大于无阻尼自由振动的周期。设响应曲线相邻波峰出现的时间所对应的峰值为，振幅比（或减幅率）： 又因此： （2-3-24）用自然对数来表示：（即对上式两边取对数）对数衰减率 （2-3-25）阻尼比（阻尼系数）对于微小阻尼：举例：已知单自由度小阻尼系统在t3=3.2s时的振幅为X3，在t=3.1s时的振幅为X2,而且X3比X降低了20%，试求：此系统的阻尼系数和固有频率。当1时，为强阻尼（过阻尼），系统的特征方程有两个实根。其振动为非周期性衰减运动，A1，A2由初始条件决定：大阻尼系统的自由振动（1时）的响应曲线如图2-7所示（P14）。当=1时，为临界阻尼状态，系统的特征方程有重根。S1=S2=-n=-n通解为：x(t)=(A1+A2)e-nt =Ae-nt （2-3-26） (呈指数衰减) 式中：A1=x0，A2=v0+n x0比较：1=1（临界阻尼状态），振动体迅速地返回其平衡位置而不再振