平面几何练习题(高一)教师版.doc

平面几何练习题（高一）教师版1P是ABC内一点，且满足，试确定PAB，PBC，PCA的面积之比 答：623 解：如图，分别在PA、PB、PC的延长线上取点A1，B1，C1，使，则 P为A1B1C1的重心， SPAB SPBC SPCA = 623 2在长方形ABCD中，E为AB上一点，AB=14，CE=13，DE=15CFDE于F，连接AF，BF求ABF的面积 答：36.96解：先求BE设BE=x，则AE=14x，在直角ADE与直角BCE中应用勾股定理，得DE2AE2=AD2=BC2=CE2BE2，即得方程152(14x)2=132x2，所以 x =5 再应用勾股定理，得AD=BC=132x2=12SABCD =1214=168，所以SCDE =84 设DF=y，则EF=15y，在直角CDF与直角CEF中应用勾股定理，得CD2DF2=CF2=CE2EF2，即得方程142x2=132(15x)2，所以 x =8.4 因此，SCDF =84=28= 47.04 又由于SCDF +SABF =SABCD = 84，所以 SABF =84SCDF = 8447.04 = 36.96AE CMDB3如图，D为ABC内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90已知AB=5，BC=6，M为AC的中点，求DM 答： 解：延长CD到E，使得DE=DC，连接BE，则BDEBDC，所以BE=BC=6，BED=BCD=BAD，所以A、D、B、E四点共圆，因此EAB=EDB=90所以，4在ABC中，ABC=100，ACB=65，在AB边上取点M，使得MCB=55，在AC边上取点N，使得NBC=80试确定NMC的度数答：25解：易知BAC=15，作MCB的外接圆，与BN的延长线交于点M1，则在这个圆中弦CM1与CM对的圆周角互补，所以CM1=CM又 M1CM = M1BM =10080=20，ACM=6555=10，所以M1CN =10；又CN=CN，所以M1CN MCN因此，NMC=NM1C=CMB=BAC+ACM=15+10=255P为正方形ABCD内一点，PA=1厘米，PB=2厘米，PC=3厘米则PBC的面积（单位：平方厘米）为（A） （B） （C） （D）答：A 解：将APB绕点B顺时针旋转90，得CQB，显然CQBAPB，连接PQ，因为PBQ=90，PB=QB=2，所以PQB=QPB=45，PQ=2在PQC中，PC=3，CQ=1，PQ=2，由于32=12+(2)2，所以PC2=CQ2+PQ2，所以PQC=90，这样，四边形PBQC的面积又PQB=45，BQC = 45+90 =135，作CHBQ的延长线于H，则CQH=45，因此，所以CD A B 6如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD的边AB、CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长答：解：设这两个圆的圆心是点O，则OAD的面积是矩形ABCD面积的，所以OAD的面积最大时，矩形ABCD面积取得最大值而OA、OD是定值，OA=6，OD=10，所以OA与OD垂直时，OAD的面积最大，此时，矩形ABCD的周长为7如图所示，线段OA = OB = OC =1，AOB = 60，BOC = 30，以OA，OB，OC为直径画3个圆，两两的交点为M，N，P，则阴影部分的曲边三角形的面积是 解：如图，连接AC，AN，BN，AM，BM， MP，NP，OM，ON，OP，易知OPA=OPC =90，ANO =BNO = 90，BMO =CNO = 90，所以A，P，C共线；A，N，B共线；B，M，C共线由OA=OB=OC=1，可知P，M，N分别是AC，BC，AB的中点，MPNB为平行四边形，BN=MP，BM=NP，所以与长度相等，与长度相等，因此，曲边三角形MPN的面积= SMPNB =SABC，而 SABC = SAOCB SAOC = SAOB + SBOC SAOC=， 所以，曲边三角形MPN的面积=SABC =ANBMO8如图，过O外一点M引圆的切线切圆于点B，连接MO交圆于点A，已知MA= 4厘米，MB=厘米N为的中点曲边三角形(阴影部分)的面积等于 平方厘米答：.解 根据条件, 延长MO交圆于C，设圆的半径为r，MC = 4+2r由切割线定理得 MB2= MAMC，即48= 4(4+2r) 解得r= 4 cm，OC=OA=AM= 4cm连接OB，在直角OBM中，ANBMOC所以MOB=60，因此为60，而N为的中点，连接ON，则MON=30，所以(cm2).而扇形AON的面积(cm2),所以阴影图形的面积(cm2)9. 如右图, AB与O切于点A. 连接B与O内一点D的线段交圆于点C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，则O的半径等于 . 解: 延长BD交圆于E，延长OD 交圆于F，G（如左图）.FG是O 的直径. 设O的半径为r，由切割线 定理，有 即 所以DE=6. 由相交弦定理可得 即 所以解得.ABCOHLMPNH11210如右图，在半径为1的圆中内接有锐角三角形ABC，H是ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则= 解：易知，圆心O及垂心H都在锐角三角形ABC的内部，延长AO交圆于N，连接AH并延长至H1与BC相交，连接CN，在RtCAN和RtAH1B中，ANC=ABC，于是有CAN=BAH1，再由AL是ABC的角平分线，得1=2由条件APOH，得AH=AO=1连接BO交圆于M，连接AM、CM、CH，可知AMCH为平行四边形，所以CM=AH=AO=1，BM=2，因为MBC是直角三角形，由勾股定理得11分别以锐角三角形ABC的边AB，BC，CA为直径画圆，如图所示已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u平方厘米，试确定三角形ABC的面积解：由于三角形ABC是锐角三角形，因此以三边为直径的圆，两两的交点是三角形高线的垂足，分别落在三角形的边上，图中13个区域如图分别用字母表示：x, y, z为形外的3个阴影曲边三角形面积，则w=x+y+z，u为形内的阴影曲边三角形面积，a, b, c, d, e, f是6个弓形，p, q, r是三角形内阴影曲边三角形之外部分可以看出，x+(a+b)=u+p+q+(c+f)，y+(c+d)=u+q+r+(e+b)，z+(e+f)=u+r+p+(a+d)，这三式的等号左右分别相加，得x+ y+ z =2(u+p+q+r)+u，即w=2SABC+u，所以SABC =(wu)平方厘米12.如图, 四个阴影三角形的面积都等于1 （1）求证: ；（2）求证: ；（3） 求的值.解答： （1）设，连接AB2， 则 连接B1C2，CA2，则B1C2/CA2， 所以 由 所以 同理，设 设 因此，得 （2）由上所证，易知也就是所以.同理由BA2=B1A2可证得 因此 （3）由即这样由解得（负根舍去！）. 所以 因此 BADCPQE13. 如图，在菱形ABCD中，ABC=120，BC=6，P是BC延长线上向远离点C方向运动的一个动点，AP交CD于点E，联结BE并延长交DP于点Q如果动点P在初始位置时QBP=15，在终止位置时QBP=35，试确定P运动时点Q走过的曲线段的长度 答：解 连接BD，作ABD的外接圆交AP于F，连接BF, DF, FC和CQ，易知DFB=DFP=BFP=120， BFE=ECP=120，所以B, F, E, C四点共圆，所以1=2，由于DFP=DCP=120，所以D, F, C, P四点共圆，所以2=3，因此1=3，所以B, C, Q, D四点共圆即点Q在BCD的外接圆上 易知，当P在延长线上由C向外运动时，Q在BCD的外接圆的上从点C起沿逆时针方向运动BCD是边长为的正三角形，它的外接圆半径为，所以外接圆周长为26=12由于Q在BCD的外接圆上运动的圆周角等于3515=20，所以Q在BCD的外接圆上运动的弧为40，是整个圆周的，所以，动点P运动时Q走过的这段曲线的长度为14.如图所示，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点M，交DC的延长线于点N，CMN的外心为O，CMN的外接圆与CBD的外接圆的另一交点为K证明：(1) 点O在CBD的外接圆上；(2) AKC =90 证明 (1)由于平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点M，交DC的延长线于点N，所以BMA=MAD=BAM，因此BA=BM，同理可得MC=CN连接OC，则OC平分NCM连接OB，OM ，OD，设BAD = ，则.ONCDABKMOCD =BCD +OCM = +(180) = 90+BMO =180OMC =180OCM=90+，所以 BMO =OCD 因此，OBMODC，所以OBC=ODC于是B，O，C，D四点共圆，也就是点O在CBD的外接圆上（8分）(2) 由(1)知 BO=OD，又KO=OC，因为B，K，O，C和D都在同一个圆上，则K，C关于BD的中垂线对称，BK=CD=AB，又KBD =CDB=ABD，所以点K与点A是关于BD的对称点，即AKBD，而KC/BD，所以AKKC，即AKC=90ABCDO1I2I1D1O215.D是正ABC的边BC上一点，设ABD与ACD的内心分别为I1，I2，外心分别为O1，O2，求证：(I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2证明：作以A为中心、逆时针旋转的变换，使ABD到ACD1，由于ADC+AD1C=ADC+ADB=180，所以A、D、C、D1共圆，因此是AD1C的外心，也就是，因此AO1=DO1=AO2=DO2=