辅助角公式在高考三角题中的应用.doc

辅助角公式在解题中的妙用在近来的学习中，多次出现了通过对asinx+bcosx型式子的化简来求三角函数的有关性质的题目!此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式，把式子变为两角和与差的正弦、余弦公式的形式再求解，但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形，而且此类做法耗费的时间也较多，如果我们能在平时的练习中总结出asinx+bcosx公式，则可省略对中间步骤的运算，直接得出结果，这对快速准确地解题是大有好处的！公式的推导对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx。由于上式中的与的平方和为1，故可记=cos，=sin，则由此我们得到结论：asinx+bcosx=，其中由来确定。通常称式子asinx+bcosx=为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin()+k的形式。一. 求周期例1求函数的最小正周期。解：所以函数y的最小正周期T=。评注：将三角式化为y=Asin()+k的形式，是求周期的主要途径。二. 求最值例2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=。由。当，即x=0时，最小值；当时取最大值1。从而f(x)在上的最大值是1，最小值是。三. 求值域例4. 求函数的值域。解：所以函数f(x)的值域是-4，4。四. 图象对称问题例6. 如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( )（A）（B）（C）1（D）-1解：可化为知时，y取得最值，即五. 图象变换例7已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）向左平移，得到y=sin(x+)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得y=的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得y=sin(2x+)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移个单位长度，得到y=sin(2x+)+的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=的图象。六.求值例8. 已知函数f(x)=+sinxcosx。设（0，），f()=，求sin的值。解：f(x)=sin。由f()=sin()，得sin()=。又（0，）。而sin，故+，则cos(+)=。sin=sin=sin=。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sin时，巧用凑角法：=（+）-，并且判断出+的范围，进而求出cos(+)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。七. 求系数例9.若函数f(x)=的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)=，其中角由sin=来确定。由已知有，解得a=。八. 解三角不等式例10.已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x，求使f(x)为正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+。由f(x)0，有sin2x-则得2k-，故kxk+。再由x0,2，可取k=0，1，得所求集合是。通过对以上几例的观察!公式所起到的作用是化多个三角函数为一个三角函数!化异名三角函数为同名三角函数这实际上也是我