江苏省2011年高考数学模拟题.doc

2011年高考数学模拟题一、填空题1.已知复数 z1=m+2i，z2=3-4i，若 为实数，则实数m的值为 。-。2如图墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 。1-。3. 甲、乙两个学习小组各有10名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如下图所示，则他们在这次测验中成绩较好的是甲组。甲 乙5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 设集合A=0,1,2，B=0,1,2，分别从集合A和B中随机 取一个数a,和b，确定平面上的一个点P(a,b)，记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(0n4， nN)，若事件Cn的概率最大，则n的可能值为 。2。5. 在平面直角坐标系中，正方形ABCD的中心坐标为(3，2)，其一边AB所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB的对边CD所在直线的方程为 。x-y-3=0。6. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 cm3。(cm3)。7. 若点P(2，0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为 。8已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内处应填 。3。9. 函数y=f(x)的图像在点M(1, f(1)处的切线方程是y=3x-2，则f(1)+ f (1)= 。4。10若直线ax+by=1(a,bR)经过点(1，2)，则+的最小值是 。3+2。11已知在平面直角坐标系xOy中，O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1)，动点M(x,y) 满足条件，则的最大值为 。4。14.下列命题中，错误命题的序号有 (1)、(2)、(3) 。 (1)“a=-1”是“函数f(x)= x2+|x+a+1| ( xR) 为偶函数”的必要条件； (2)“直线l垂直平面内无数条直线”是“直线l垂直平面”的充分条件； (3)已知a，b，c为非零向量，则“ab= ac”是“b=c”的充要条件； (4)若p: xR，x2+2x+20,则 p:xR，x2+2x+20。二、代数基本题1、已知向量a=(cosx，sinx)，b=(-cosx，cosx)，c=(-1，0)。(1)若x=，求向量a，c的夹角；(2)当x，时，求函数f(x)=2ab+1的最大值。解：(1)当x=时，cos=-cosx=-cos=cos。 0，=。(2) f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=sin(2x-)。 x，2x-，2，故sin(2x-)-1, ，当2x-=，即x=时，f(x)max=1。2、已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值；(2)若a=2，求ABC周长的最大值。解：(1)b2+c2=a2+bc，a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cosA=，A=，2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=。 (2)由a=2，结合正弦定理，得 b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B) =2sinB+2cosB=4sin(B+)，可知周长的最大值为6。3、口袋中装有质地大小完全的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号。如果两个编号的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜。(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率；(2)这种游戏规则公平吗？说明理由。解：(1)设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A，甲编号x，乙编号y，(x，y)表示一个基本事件，则两人摸球结果包括(1，1)，(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(5，4)，(5，5)共25个基本事件；A包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，所以P(A)= 。答：编号之和为6且甲胜的概率为。(2)这种游戏不公平。设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C。甲胜即两编号之和为偶数所包(含基本事件数为以下13个：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5)；所以甲胜的概率为P(B)=。乙胜的概为P(C)=1-=，P(B)P(C)，这种游戏规则不公平。三、立体几何题4、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证：AF平面PCE； (2)求证：平面PCE平面PCD。证明：(1)取PC中点G，连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点，所以FGCD且FG=CD，又AECD且AE=CD，所以，FGAE且FG=AE，四边形AEGF为平行四边形，因此，AFEG，又AF 平面PCE，所以AF平面PCE。(2) 由PA平面ABCD，知PACD，又CDAD，所以CD平面PAD，CDAF。又PAAD，F为PD的中点，则AFPD，因此，AF平面PCD。而AFEG，故EG平面PCD，又EG平面PCE，所以，平面PCE平面PCD。四、解析几何题5、已知椭圆 x2+=1(0b1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B，过F、B、C作P，其中圆心P的坐标为(m,n)。(1)当m+n0时，求椭圆离心率的范围；(2)直线AB与P能否相切？证明你的结论。解：(1)设F、B、C的坐标分别为(-c, 0)，(0, b)，(1, 0)，则FC、BC的中垂线分别为x=，y-=(x-)，联立方程组，解出 。 m+n=+0，即 b-bc+b2-c0，即 (1+b)(b-c)0，bc。从而b2c2，即有 a22c2，e2，又e0，0e。(2)直线AB与P不能相切。由 kAB=b，kPB=，如果直线AB与P相切，则 b=-1，又b2+c2=1，解出c=0或2，与0c1矛盾，所以直线AB与P不能相切。五、导数应用题6、水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间(单位：月)，以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为v(t)= 。(1)若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1ti表示第i月份(i=1，2，12)，问一年内那几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e3=20计算)。解：(1)当0t9时，v(t)=(-t2+15t-51)et+5050，即t2-15t+510，解得 t或 t，从而 0t5.2。当9t12时，v(t)=4(t-9)(3t-41)+5050，即(t-9)(3t-41) 0，解得 9t，所以 9t12。综上，0t5.2或9t12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月。(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在69月份。 v(t)=(-t2+13t-36)et =-et(t-1)(t-9)，令v(t)=0，解得t=9或t=4(舍去)，又当t(6,9)时，v(t)0；当t(9,10)时，v(t)0。所以，当t=9时，v(t)的最大值v(9)=3e9+50=150(亿立方米)，故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米。7、一变压器的铁芯截面为正十字形，为保证所需的磁通量，要求十字形应具有4m2的面积。问应如何设计十字形的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省。解：设AB=h，则长y=2h+x。由题意，x2+4xh=4，h=，又 l=2R，欲求l的最小值，只须求出R的最小值， 4R2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2)，设 (x)= x2+2hx+2h2= x2+2h2+=+x2+(0x2R)。令 (x)= x- =0 x4=16，x=2，这时 h=，y=2h+x=+1。根据问题的实际意义，此最小周长l，最小半径R是存在的，故 x=2cm，y =(+1)cm 即为所求。六、数列综合题8.设数列an满足a1 = 3，an+1 = 2ann2n+13n，n1。(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项之和Sn。解: (1) an = 2an-1(n-1)2n3n-1=22an-2+(n-2)2n-13n-2(n-1)2n3n-1=22an-2(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=222an-3(n-3)2n-23n-3(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=23an-3(n-3)(n-2)(n-1)2n(223n-323n-23n-1)=2 n-1a1123(n-1)2n(2n-232n-3323n-1)=2n-132n2n-23=2n-1(n2-n3)2n-13()n-1-1=2n-1(n2-n)3n。(2)设数列bn，其中 bn =2n-1(n2-n)，Mn 为其前n项和，则Sn= Mn3n。Mn =0122123223423(n-1)n2n-1，2Mn = 12222323(n-1)n2n，相减得 - Mn = 122222232232(n-1)2n-1- (n-1)n2n=122223324(n-1)2n- (n-1)n2n，-2 Mn = 123224325(n-1)2n+1- (n-1)n2n+1，相减得 Mn = 12223242n- (n-1)2 n+1(n-1)n2n = (2-n)2 n+1(n-1)n2n-4，Sn = Mn3323n= - (n-2)2n+1(n-1)n2n-4。七、函数综合题9、已知函数f(x)=x+，g(x)= x-，a2-3，(1)求证：函数f(x)在(0,1上单调递增；(2)函数g(x)在（0,1上单调递减，求a的取值范围；(3)若对任意x(0,1，函数h(x)=x|x-b|+a的图象在x轴下方，求b的取值范围。解：设0x1x21，(1)a0，f(x1)- f(x2)=( x1-x2)(1-)0，f(x)在(0，1)上递增。(2)g(x1)- g(x2)=( x1-x2)(1-)0，1+0，a-x1x1，而-x1x1最小值为-1， a-1。(3)h(x)0，即|x-b|-，x+bx-，即f(x)bg(x)，f(x)maxbg(x)g(x)min，x(0,1)。当-12-3时，由(1)知 f(x)max为f(1)=1+a，而g(x)=x-2，1+ab2。当a-1时，由(2)结论的可逆性，可得g(x)最小值为g(1)=1-a，由(1)知f(x)最大值仍为f(1)=1+a，1+ab1-a。10、对任意xR，给定区间k-,k+(kZ)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值。(1)写出f(x)的解析式；(2)设函数g(x)= loga，(e- a1)试证明：当x1时，f(x)g(x)；当0x1时，f(x)g(x)；(3)求方程f(x)- loga=0的实根，(e- a1)。解：(1)当xk-,k+(kZ)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故 f(x)=|x-k|，xk-,k+(kZ)。(2)当x1时，|x-k| 0logax，所以f(x)g(x)；当x1时，设H(x)= g(x)- f(x)= logax-(1-x)，(x1)。则H(x)= logae+1=+1+1=-+10，所以当x1时，H(x)为减函数，H(x)H(1)=0，故f(x)g(x)；当0x时，设G(x)= g(x)- f(x)=logax-x，明显G(x)为减函数，G(x)G()=H()0，故f(x)g(x)。另证：g(x)=logaxloga=loga4- logae- logaa= f()f(x)。(3)由(2)，容易验证x=1为方程 |x-k|-logax=0的实根，所以，若e- a1，方程f(x)-loga=0有且仅有一个实根，实根为1。11、已知f(x)=ax-lnx，x0, e，g(x)=，aR，(1)若a=1，求f(x)的极小值；(2)在(1)条件下证明f(x)g(x)+；(3)是否存在实数a使f(x)的最小值为3。解：(1)f(x)=ax-lnx，f (x)=1-=，当0x1时，f (x)0，此时f(x)单调递减；当1xe时，f (x)0，此时f(x)单调递增。 f(x)的极小值为f(1)=1。(2)f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e)上的最小值为1， f(x)0，f(x)min=1。 令h(x)=g(x)+=+，h(x)= ，当0xe时，h(x)0，h(x)在(0，e)上单调递增，h(x)max= h(e)= +1=| f(x)|min。在(1)的条件下，f(x)g(x)+。(3)假设存在实数a，使f(x)=ax-lnx ，x0, e有最小值3，f(x)=a-=，当a0时，f(x)在（0，e上单调递减，f(x)min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此时f(x)无最小值。当0e时，f(x)在(0, )上单调递减，在(, e上单调递增，f(x)min= f()=1+lna=3，a=e2，满足条件。当e时，f(x)在(0，e)上单调递减，f(x)min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此时f(x)无最小值。综上，存在实数a=e2，使得当x0, e时f(x)有最小值为3。八、空间向量题（理科附加）12、如图，正棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，D为CC1中点，(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角A-A1D-B的大小。解：(1)取BC中点O，连接AO，取B1C1中点O1，以O为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz， 则 B(2,0,0)，D(-2,2,0)，A1(-4,2,2)，A(0,0,2)，B1(2,4,0)， =(2,4,- 2)，=(-4,2,0)，=(2,4,2)，=0，=0，平面A1BD。(2)设平面A1AD的法向量为=(x,y,z), =(-2,2,- 2)，=(0,4,0)。 ， ，令z=1，得=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量，由(1) =(2,4,2)为平面A1BD的法向量，得cos=，所以二面角A-A1D-B的大小为arccos。13、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。(1)证明PA平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；(3)在棱PB上是否存在点F,使PB平面DEF?证明你的结论。解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，则由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)， =2-2=0，又PA平面BDE，PA平面BDE。(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。设二面角B-DE-C的平面角为,由图可知=， cos=cos=，故二面角B-DE-C余弦值为。(3)=(2,2,-2)，=(0,1,1)，=0+2-2=0，PBDE。假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=(01)，则 =(2, 2,-2)，=+=(2, 2,2-2)，由=0 得 42 +42-2(2-2)=0， =(0,1)，此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB平面DEF。九、随机变量题（理科附加）14、某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动。(1)设所选3人中女生人数，求的分布列及数学期望；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。解：(1) 的所有可能取值为0，1，2，依题意得： P(=0)= =，P(=1)= =，P(=2)