角平分线练习题.doc

角平分线练习一、选择题 1.已知：如图1，B E，C F是ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若A=50，则BDC=（ ）A.70 B.120 C.115 D.1302.已知：如图2，ABC中，AB = AC，BD为ABC的平分线，BDC = 60，则A =（ ）A. 10 B. 20C. 30 D. 403.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A.三条高线交点 B.三条中线交点C.三条角平分线的交点 D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在AOB的平分线上，AOB = 60，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（ ）A. 5cm、cm B. 4cm、5cmC. 5cm、5cm D. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（ ）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，ABC中，C = 90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（ ）cmA. 2、2、2 B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ，它是 命题。2.角平分线可以看作是的点的集合。3.已知：ABC中，C = 90，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |”的命题是 ，它是 命题。三、简答题1.已知：如图4，ABC的外角FAC的平分线为AE，1=2，AD = AC求证：DCAE2.已知：如图5，ABC中，C= 90，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC， DEAB交AC于E求证：BE平分ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。4.已知：如图6，ABC中，A= 90，AB = AC = BD EDBC求证：AE = DE =DC5.已知：线段a和a求作ABC，使AB = AC = a，A= a线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；二、例题分析例1如图3142，已知AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于点O。求证：ADBC。思路分析：此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。 例2已知：如图下图3142，在ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在AF的垂直平分线上。思路分析：由图形观察到CAD与C互余，BFD与CBE互余，AFE=BFD因此只需证明C=CBE，就可得到CAD=AFE。第二阶段例3如图3.143，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，C=70，求BDC的度数。思路分析：AB=AC，由C先求出A，根据DE是AB的中垂线，得到AD=BD，求出DBA，再计算出BDC。 例4如图3.144，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。思路分析：此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可出奇制胜，而利用全等三角形证明却较繁琐，因而在今后的证题思路的分析中，要充分发挥后续定理的作用。 第三阶段例5如图3.145，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到AOB两边的距离相等。思路分析：由PC=PD，知P在线段CD的中垂线上。由P到AOB两边的距离相等，知P在AOB的平分线上。例6如图3.147，已知：ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM。思路分析：等腰三角形性质、中垂线的性质、30直角三角形的性质。三、练习题1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三形 C、直角三角形 D、不能确定2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的_相等。3、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的_上。4、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的_点的集合。5、三角形三边垂直平分线的交点到_的距离相等。6、线段的垂直平分线有_条，它是_的集合。7、若ABC中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则ABC必定为（ ） A、锐角三角形 B、直角形 C、等腰三角形 D、等边三角形8、下列说法：若直线PE是线段AB的中垂线，则EA=EB，PA=PB；若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；若PA=PB，则点P必是线段AB中垂线上的点；若EA=EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数为（ ） A、1个B、2个C、3个 D、4个9、已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（ ）A、与AB距离相等的点在MN上B、与点A和点B距离相等的点在MN上C、与MN距离相等的点在AB上D、AB垂直平分MN10、已知点D在ABC的边AB的垂直平分线上，且AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则BDC的周长为（ ） A、6cm B、7cm C、8cm D、9cm 11、已知：AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。 求证：FAC=B。12、已知ABC中，AB=AC，在AB上求作一点E，使EA=EC，以在什么情况下E点在BA的延长线上？在什么情况下，本题无解？角的平分线的性质自测夯实基础一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）ACPBDO12图11如图1所示，ADOB，BCOA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PAPB，则1与2的大小是（ ）A.12 B.12C.12D.无法确定2ABC中，C90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E，若AB12cm，则DBE的周长为（）A、12cmB、10cmC、14cmD、11cm3如图2所示，已知PA、PC分别是ABC的外角DAC、ECA的平分线，PMBD，PNBE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）A.PMPNB.PMPNC.PMPND.无法确定DBCAEF图3DMABCNPE图24如图3所示，ABC中，AB=AC，AD是A的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )AD平分EDF； AE=AF； AD上的点到B、C两点的距离相等到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等A、1个 B、2个 C、3个 D、4个5 如图，已知点D是ABC的平分线上一点，点P在BD上，PAAB，PCBC，垂足分别为A，C下列结论ABCDP错误的是（ ）AAD=CP BABPCBP CABDCBD DADB=CDB二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_7，已知点C是AOB平分线上的一点，点P、P分别在边OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC8如下图，已知平分，平分，且过点，若，则的周长是E9如上右图，在ABC中，C=900，AD平分CAB，BC8cm，BD5cm，那么D点到直线AB的距离是 cmBDCA10如图所示：若BADCAD，且BDAB于B，DCAC于C，则BDCD，若BDAB于B，DCAC于C，且BDCD，则BADCAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处三、细心做一做，你会成功（共40分）11已知：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，BDCD，求证：BC.AFCDEB12如图，已知在中，点是斜边的中点， 交于求证：平分13 先作图，再证明（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）作的平分线，交于点；延长到点，使，连结（2）求证：综合创新14如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点求证：点P在C的平分线上ABCDEP213415已知：如图，是的中点，平分（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论2134（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由中考链接16（广东茂名）的角平分线AD交BC于 点D，则点D到AB的距离是（）A1 B2 C3 D417 (广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）三条中线的交点三条高的交点三条边的垂直平分线的交点三条角平分线的交点18（镇江）如图，已知ABC，C90.按下列语句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：作B的平分线，与AC相交于点D；在AB边上取一点E，使BEBCACB连接ED;根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角.（不包括BEBC，EBDCBD）答：_参考答案角平分线练习【参考答案】一1. C 2. B 3. C 4. C 5. C 6. A二1.同旁内角互补，两直线平行， 真 2.到一个角的两边距离相等的所有 3. 8 4.如果| a | = | b |，那么a = b，假三1.AD = AC，ADC=ACD，ABC中 FAC=ADC + ACD， 又1=2=FAC ADC=FAC=1，DCAE 2.D是AB中点 BD=AB，AB = 2BC BC=AB BD = BC又DEABC=90，C=BDE=90，又BE = BE，R +BDERtBEC（HL） DBE = EBC BE平分ABC3.略 4.连结BE，可证ABEBDE（HL）AE = DE AB = AC A=90 C=45又DEBC DEC = 45 DE = DC AE = DE = DC 5.略线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；例1 证明：AB=AC， 点A在BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。 同理，点D在BC的垂直平分线上。 AD是BC的垂直平分线，ADBC。例2 证明：E在BC的垂直平分线上（已知）， EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， C=CBE（等边对等角）。 ADBC（已知）， BFD+C=90，CAD+C=90， BFD=CAD（等角的余角相等）。 又AFE=BFD（对顶角相等）， CAD=AFE， EA=EF（等角对等边）， E在AF的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。例3 解：AB=AC， ABC=C=70。 A=180-2C=40， 又DE垂直平分AB， AD=BD。 DBA=A=40。 BDC=A+ABD=40+40=80。例4 证明：由AB=AC，BD=CD， 可知：A、D在线段BC的中垂线上，于是由两点碹 条直线，可知AD是BC中垂线，从 而得到BE=EC。 连结BC。 AB=AC， A在BC的垂直平分线上， 又BD=CD， D在BC的垂直平分线上， AD是BC的中垂线， BE=CE。例5 作法：作AOB的平分线OM。 作CD中垂线，交OM于P。 点P为M求作的点。例6 证明：连接AM。 AB=AC，BAC=120， B=C=30。 又MN是AB的垂直平分线， BM=AM。 MAB=B=30。 CAM=90。 CM=2AM=2BM。三、练习题参考答案1、C2、距离3、垂直平分线4、距离相等的5、三个顶点6、1，到线段的两个端点距离相等的点的集合7、B8、C9、B10、D11、略12、当A是钝角时，当A=90时。夯实基础1选A，提示：ADOB，BCOA，PAPB，由角平分线的判定可知122选A；提示：AD是BAC的平分线，DEAB，C90，易得ACDAED，CDDE，AEAC，DBE的周长DEEBDECDDBEBBCEBACEBAEEBAB12cm3选B，提示：过P作PTAC于T，因为PA平分DAC，PMBD，PMPT，又PC平分ACE，PTAC，PNBE，PNPT，PMPN4选D，提示：都正确5A68，提示：根据角平分线的性质可得D到斜边AB的距离为87、8269由C90，AD平分CAB，可作DEAB于E，所以D点到直线AB的距离是DE的长，由角平分线的性质可知DECD又BC8cm，BD5cm，所以DECD3cm所以D点到直线AB的距离是3cm10四处提示：如图2所示：作出ABC两内角的平分线，其交点为O1；分别作出ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4，故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O411因为AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，所以DEDF，在RtDEB与RtDFC中，BDCD，DEDF，所以RtDEBRtDFC（HL），所以BC12是的中点，又，又，（），平分 13证明：（1）作图略；（2），为等腰直角三角形