2013年四川高考数学理科试题.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）2如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）（A） （B） （C） （D）3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4设，集合是奇数集，集合是偶数集若命题，则（ ）（A） （B）（C） （D）5函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）（A） （B） （C） （D）6抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）（A） （B） （C） （D）7函数的图象大致是（ ）8从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（ ）（A） （B） （C） （D）9节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）10设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在使得，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11二项式的展开式中，含的项的系数是_（用数字作答）12在平行四边形中，对角线与交于点，则_13设，则的值是_14已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的解集是_ 15设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线AB上，则是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和17(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且（）求的值；（）若，求向量在方向上的投影18(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望19(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（）设（）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值20(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程21(本小题满分14分)已知函数，其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）参考答案一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.1.答案A解析Ax|x202，Bx|x2402，2，AB22,22，选A.2.答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.选B.3、答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.4.答案D解析命题p：xA,2xB是一个全称命题，其命题的否定綈p应为xA,2xB，选D.5、答案A解析T，T，2，22k，kZ，2k，又，选A.6、答案B解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0，所求距离为.选B.7.答案C解析对于函数y定义域为xR，且x0去掉A，当x0，x20，y0，去掉B，x=3时,y=1,x=4时，y0，b0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A220218，选C.9.答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|XY|2).10答案A解析由于f(x)(aR)在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f1(x)存在，由于y01,1，且f(f(y0)y0，f1(f(f(y0)f1(y0)，即f(y0)f1(y0)，yf(x)与yf1(x)的交点在yx上即x在x1,1上有解，即x在0,1上有解aexxx2，x0,1，aex2x1，当0xe02110，aexxx2在0,1上递增，当x0时，a最小1；当x1时，a最大e，故a的取值范围是1，e，选A.二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分.11. 答案10解析Tr1Cx5ryr(r0,1,2,3,4,5)，由题意知，含x2y3的系数为C10.12. 答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，2，2.13、答案解析sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10即cos ，sin ，tan ，tan 2.14. 答案x|7x3解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，故有f(x)再求f(x)5的解，由得0x5；由得5x0，即f(x)5的解为(5,5)由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x315、答案解析正确，因为C点到A、B的距离之和小于AB上其它点到A、B的距离之和；不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；不正确，不妨认为B、C在线段AD上，则线段BC上的任一点到A、B、C、D距离之和均最小；正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小三、解答题:共6小题,共75分.16.解：设该数列公差为,前项和为.由已知,可得.所以,解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前项和或. .12分17.解：由,得,即,则,即. . 5分由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为. .12分18. 解：.变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. 3分当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 7分（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3. 故的分布列为所以即的数学期望为1. 12分19.解：如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外,在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面.由已知,是的中点,所以,则直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. .6分解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为).设,则由,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中, ;在中, .从而,所以.所以.故二面角的余弦值为. 12分解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为. 12分20解：所以，.又由已知，,所以椭圆C的离心率4分由知椭圆C的方程为.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线与轴垂直时，直线与椭圆交于两点，此时点坐标为(2) 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为.因为在直线上，可设点的坐标分别为，则. 又由，得，即 将代入中，得 由得.由可知代入中并化简，得 因为点在直线上，所以，代入中并化简，得.由及，可知,即.又满足，故.由题意，在椭圆内部，所以，又由有且，则.所以点的轨迹方程是，其中，.13分21解：函数的单调递减区间为，单调递增区间为，由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切