重庆市双江中学高二解析几何例题(椭圆).doc

直线与椭圆例题1，若直线y=x+t与椭圆 相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值 解析：以y= x +t代入，并整理得 因为直线与椭圆相交，则=，所以，即，设A（），B（），则A（），B（），且是方程的两根由韦达定理可得：， 所以，弦长|AB|2=+ =2 =2 =2得 |AB|=所以当t=0时，|AB|取最大值为2，已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆的方程 解析：设所求椭圆的方程为，依题意，点P（）、Q（）的坐标满足方程组解之并整理得或所以， ， 由OPOQ又由|PQ|= = 由可得： 故所求椭圆方程为，或3，设F1、F2是椭圆的左右焦点。（1）P是椭圆上的动点，求的取值范围。 （2）过Q（1，0）的直线l交椭圆于不同的两点A、B，则求AOB面积的最大值。（1）（2）4，为，过原点且倾斜角为的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点（1）用表示四边形ABCD的面积S；（2）当时，求S的最大值（14分）解析：（1）设经过原点且倾斜角为的直线方程为y= x tan，代入，求得由对称性可知四边ABCD为矩形，又由于，所以四边形ABCD的面积S=4| x y| （2）当时， ，设t=tan，则S， 设，因为在（0，1上是减函数，所以所以，当=时，5直角坐标系中，已知（c为常数，c0），的最小值为1，（a为常数，ac,tR），动点P同时满足下列三个条件：.动点P的轨迹C经过点B（0，1）（1）求曲线C的方程；（2）是否存在方向向量为的直线l，l与C相交于M、N两点，使的夹角为60？若存在，求出k的值，并写出l的方程；若不存在，请说明理由。解：（1）由圆锥曲线统一定义知，动点P的轨迹是椭圆，又 （2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为将线段MN的中点为G（则由又BMN为等边三角形，所以点B到直线MN的距离由此可得10分由、可得：故存在这样的直线l，其方程为6设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标 解析：（1）由题设e=可得a2=4b2，于是，设椭圆方程为又设M（x，y）是椭圆上任意一点，且，所以 因为，所以若b，当y=-b时，有最大值为=解得与b0，所以 10分当时、中的k都无实数解，没有满足条件的直线；当时，有一条垂直x轴的直线x=2当a2时，中的k有两个实数解，中的k也有两个实数解，k共有四个实数解，满足条件的直线有四条 14分注（若通过与通径和实轴长的长度来比较，说明直线的存在性，没有给出证明，但指出a的取不同值时相应直线的条数，结论正确给一半分数）1，已知圆的圆心为M，圆的圆心为N，一动圆与这两圆都外切.（）求动圆圆心P的轨迹方程.（）若过点N的直线l与（）中所求轨迹有两个交点A、B，求的取值范围.解：（I）设动圆P的半径为r，则1分相减得|PM|PN|=2由双曲线定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支2分其双曲线方程为4分（未指出x1的扣1分）（）当6分由8分已知双曲线，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段AF2、BF2的长度分别为m、n. （1）证明mn1； （2）若mn，当直线AB的斜率时，求的取值范围.解：（1）易知双曲线上焦点为.设直线AB的方程为当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和1，此时mn=1.当代入双曲线方程，消去x得.2分4分由双曲线的第二定义，知，8分综上，知mn1.10分（2）设直线AB的方程为，代入双曲线方程，消去y并整理得8分 由，消去即 12分由即为所求.14分 2 已知A（3，0）及双曲线E：，若双曲线E的右支上的点Q到B（m，0）（m3）距离的最小值为|AB|。 （）求m的取值范围，并指出当m变化时点B的轨迹G； （）轨迹G上是否存在一点D，它在直线上的射影为P，？若存在，试指出双曲线E的右焦点F分向量所成的比；若不存在，请说明理由。 （理科做）（）当m为定值时，过轨迹G上的点B（m，0）作一条直线l与双曲线E的渐近线分别交于M、N两点，求MON周长的最小值。解：（I）设M（x，y），则且那么点M到点B的距离设（理2分）（文3分）当上的增函数，所以当x=3时，最小值（理3分（文4分）由上述可得：当且仅当时，M到B的距离为|AB|. 所以点B的轨迹是一条线段AN，其中N（，即轨迹G为线段AN.（理4分）（文6分） （II）设存在D，令P（3t，4 t），则D又（理6分）（文10分）当t=0时，D为（0，0）不满足题意；当t=1时，D为在轨迹G上，所以存在D满足题意，此时D、F（5，0），有.从而F分所成的比为（理8分）（文14分） （III）（理）设M（3s，4s）、N（3t，4t），因为直线l与双曲线E的右支有两个交点，所以s0，t0，由M、B、N共线知（理9分）而所以时取等号（理10分）的周长L=|OM|+|ON|+|MN|=所以，当时，的周长最小为6m（理14分）3已知F1（2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|PF2|=2，记点P的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点. （i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MPMQ恒成立，求实数m的值. （ii）过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记求的取值范围.解：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为3分 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立消y得， 5分 （i） 7分 ， 故得对任意的恒成立， 当，当直线l的斜率不存在时， 由知结论也成立，综上，当m =1时， 8分 （ii）是双曲线的右准线9分 由双曲线定义得：， 方法一： 10分， 11分注意到直线的斜率不存在时，综上，12分 方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点， 10分由 12分 如图，若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线左支上，在右准线上，且满足（）求此双曲线的离心率；（）若此双曲线过点求双曲线的方程；（）设（）中双曲线的虚轴端点为在y轴的正半轴上），过点作直线与双曲线交于两点，当时，求直线的方程。解：（）由知四边形PF1OM是平行四边形，又，四边形PF1OM是菱形 2分设焦半距为c，则=c+2a， 4分OxyF1MP由双曲线第二定义可知 （6分）（）e=2= c=2a双曲线方程为又双曲线过点N（2，），即所求双曲线方程为 8分（）由题意知B1（0，3），B2（0，-3），设直线l的方程为y=kx-3，A（x1，y1），B（x2，y2）则由消去y得 9分双曲线的渐近线为，当时，直线l与双曲线只有一个交点，即 10分 又而 13分即直线l的方程为 14分已知椭圆C的方程为的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次