《弹性力学简明教程》习题4-15.doc

弹性力学简明教程习题4-15摘 要：本文通过三种不同的计算方法三种计算然后对比不同计算方法计算的结果，并得出计算结果之间的误差。三种计算方法中，前两者是基础，为理论解答，后者有限元计算是一种广泛应用于工程中的具有一定精度的概算方法。我们只有通过前者的理论求解进而验证有限元是否真确，才能将有限元应用于实践。本文通过ABAQUS模拟，ABAQUS作为国际上最先进的大型通用有限元软件之一，具有广泛的模拟性能，它有用丰富的、可模拟任意几何形状的单元库，并拥有各种类型的材料模型库，同时它又具备友好的界面，使用起来非常简单容易上手。关键字：弹性力学；塑性力学；有限元；ABAQUS 61 题目在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。 图1 模型示意图2 弹性力学解答【解】求出两个主应力，即。原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。应力分量，代入坐标变换式，得到边界上的边界条件， （a）。 （b）在孔边，边界条件是 ， （c）。 （d）由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而， 。因此可假设 。 （e）将(e)式代入相容方程得删去因子以后，求解这个常微分方程，得，其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e)，得应力函数， (f)由应力函数得应力分量的表达式将上述式代入应力边界条件由式(a)得 (g)由式(b)得 (h)由式(c)得 (i)由式(d)得 (j)联立求解式(g)(j)，并命，得将各式系数值代入应力分量的表达式得沿着孔边，环向正应力是。它的几个重要数值如下表所示。表1 不同角度处的应力值0304560900沿着y轴，环向正应力是它的几个重要数值如下表所示。表2 距孔处不同距径处的应力值可以看出应力在孔边达到均匀拉力的4倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q。3 理想弹塑性体解答假设该模型为理想弹塑性材料，屈服应力为3.45108Pa，屈服准则采用Mises屈服条件，即认为材料的最大剪应力达到某一个极限材料发生屈服。 (k1为材料常数)由上可知，在孔内部环向正应力，而孔内由于临空故，将其代入式中，在材料达到临界条件时满足式其中k1为3.45108P求得临界应力为由于材料为理想弹塑性材料，在其达到临界条件时，满足弹性力学的胡克定律取钢材的弹性模量为2.11011 泊松比为0.3代入上式得4 ABAQUS模拟解答4.1 模型数据本文通过大型有限元软件ABAQUS建立理想弹塑性材料的模型。弹性及塑性材料选取参数见表3。表3 模型参数值弹性参数塑性参数Youngs MPoissns RatioYield StressPlastic strain2.1e110.33.45e80为了对比不同网格密度对精度的影响本例采取两种不同密度的网格，其中粗网格种子密度为30，细网格种子密度为5，对于小孔为另外采用种子布置，布种时都采固定数目，粗网格沿圆布5个，细网格沿圆布15个。网格控制属性为三角形单元，勾选算法中的“在合适地方使用映射网格”。计算单元类型在Standard中选取CPS3单元(三结点平面应力三角形单元)。模型尺寸见图2。加载时，为防止突然加载对结果造成影响，采用线性逐级加载，将1000N平均分为10个Step，再在每一个Step中将荷载施加上去。为分析小孔处的应力变化，建立沿孔内侧的路径1。 图2 模型尺寸图4.2 网格划分为较好地对比结果，对模型如上表对应点进行编号，具体见图3，其中15编号为Path-1，AD编号为Path-2。为验证网格越密计算精度越高，故有限元采用两种网格密度，如图4（a）、(b)所示。网格划分采用三角形自由划分技术，算法中勾选“在合适的地方使用映射网格”。图3 对比节点编号图 图4(a) 模型密网格图 图4(b) 模型稀网格图4.2 计算结果图4.2.1 Mises应力云图图4.2.2 Path-1下Mises随序列ID变化图图4.2.3 Path-2下Mises随序列ID变化图图4.2.4 应变计算云图 图4.2.5 Path-1下应变随路径变化图图4.2.6 Path-2下应变随路径变化图 图4.2.7 位移计算云图 图4.2.8 位移随圆孔路径变化图图4.2.9 位移随Path-2路径变化图选取节点应力应变值见表4表4 选取节点应力应变数据表节点编号应力应变(E-009)1-2994.847.0457421534.852.26844321.17134.441694-1539.162.9120952910.897.92854A889.092.88826B767.424.49059C754.475.74445D751.676.031515 综合比较综上弹性力学、塑性力学及有限元结果进行对比。5.1 弹性力学与有限元比较图5.1.1 弹性力学与有限元应力解比较图5.1.2 弹性力学与有限元应变解比较图5.1.2 弹性力学与有限元位移解比较表5 弹性力学与有限元计算结果对比表节点编号弹性力学有限元误差值应力应变(E-009)位移(E-006)应力应变(E-009)位移(E-006)应力应变位移1-40009.632952.05531-2994.847.045741.502230.17%2.54%2.61%220003.133542.045751534.852.268441.513882.32%3.60%1.35%306.136352.0954721.17134.441691.533032.72%3.62%2.52%4-20004.053102.10402-1539.162.912091.558962.61%4.39%1.22%5400011.033622.201382910.897.928541.596042.97%4.37%3.45%A11883.921311.91558889.092.888261.416970.21%1.83%1.39%B10376.012621.67495767.424.490591.228591.33%0.42%2.25%C10127.767401.41258754.475.744451.035850.60%1.41%2.28%D10058.433081.22835751.676.031510.8994570.28%4.86%2.42%注：表中有限元值为实际值折减75，故进行误差分析时要对应换算成实际值。5.2 塑性力学与有限元比较根据3小节中的计算结果，材料在q=1.7251011Pa时，发生屈服。为验证模型选取该值前后的值，对比相应的应力云图。图5.2.1 q=172.5MPa时的Mise应力云图图5.2.2 q=17.25MPa时的Mise应力云图图5.2.3 q=180MPa时的Mise应力云图图5.2.3 q=180MPa时的Mise应力云图通过对比在q172.5MPa时，最大应力为4.888107MPa，从云图上看大部分区域为绿色即处于弹性阶段，当荷载加到q=172.5MPa时，应力云图开始在圆孔周围出现红色区域，最大应力也达到3.45108MPa极限值。当给其施加一个q=200MPa荷载时，随着增量步的增加，塑性区不断增大，最后当整个模型达到屈服时，由于材料是理想弹塑性材料，其形变也无限发生。在中间选取某一点刚刚屈服时所对应的荷载为q=168.58MPa。与理论值相比较的误差为；4.3 误差分析产生误差的原因有：1. 计算原理产生的误差 有限元计算本身就是一种简化近似计算，在计算过程中由于一些条件的简化，以及一些假设，使得计算结果与理论值有差别。2. 模型的简化产生的误差本例实际是模拟一种小孔处应力集中现象，而在建模时，为了能够清楚看到洞口边应力应变变化，所以小孔选取较大，而整个模型本该延伸无限远处，所以这些造成模型简化误差。3. 网格划分误差有限元软件计算的重要步骤就是划分网格，一般而言网格划分越密结果精度越高，但实际中考虑到经济问题，在一些我们不需要过多信息的地方我们选取粗网格，这也在一定程度上产生误差。4. 结果选取误差由于关键部位网格划分较密，在Query结果时，只能选取在较近处的值，在比较积分点处的值由于网格差异积分点也会有一定的出入。6 结论本次作业通过对小孔处应力集中现象的弹性力学、塑性力学及有限元不同方法的模拟计算能得出如下结论：1. 弹性力学通过几何方程，物理方程，力学平衡方程和边界条件能够很好地求解问题的理论解。塑性力学实际是弹性力学的一种引升，它考虑到了材料的力学性能，在材料达到极限载荷时，弹性力学的理论任然能够适用。2. 有限元是一种近似计算方法，但在工程中能广泛适用，因为它能够达到人们需要的精度，土木工程是一门近似计算的学科，我们应该强调的是概念设计，