三角形典型题(三边关系).docx

一、已知ABC，（1）如图1，若D点是ABC内任一点、求证：D=A+ABD+ACD（2）若D点是ABC外一点，位置如图2所示猜想D、A、ABD、ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式（不需要证明）（3）若D点是ABC外一点，位置如图3所示、猜想D、A、ABD、ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论考点：三角形的外角性质专题：计算题分析：（1）由BDC=2+CED，CED=A+1，可以得出D=A+ABD+ACD（2）由D+A+ABD+ACD=A+ABC+ACB+D+DBC+DCB，A+ABC+ACB=180，D+DBC+DCB=180，可以得出D+A+ABD+ACD=360（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知AED=1+A，AED=D+2，所以可知A+1=D+2即D+ACD=A+ABD解答：解：（1）证明：延长BD交AC于点EBDC是CDE的外角，BDC=2+CED，CED是ABE的外角，CED=A+1BDC=A+1+2即D=A+ABD+ACD（2）D+A+ABD+ACD=A+ABC+ACB+D+DBC+DCB，A+ABC+ACB=180，D+DBC+DCB=180，D+A+ABD+ACD=360（3）证明：令BD、AC交于点E，AED是ABE的外角，AED=1+A，AED是CDE的外角，AED=D+2A+1=D+2即D+ACD=A+ABD点评：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和二、观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由（1）如图，ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由（2）将（1）中点P移至ABC内，得图，试观察比较BPC的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（4）将（3）中的点P1、P2移至ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且P1BCABC，P2CBACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与ABC的周长的大小，并说明理由考点：三角形三边关系分析：（1）、（2）、（3）通过作辅助线，利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答；（4）通过将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在ABC内，转化为（3）情形，从而问题得解；（5）延长B1P1、C1P2分别与AB相交，再利用三角形的第三边小于两边之和，大于两边之差进行解答解答：解：（1）BP+PCAB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短（2）BPC的周长ABC的周长理由：如图，延长BP交AC于M，在ABM中，BP+PMAB+AM，在PMC中，PCPM+MC，两式相加得BP+PCAB+AC，于是得：BPC的周长ABC的周长（3）四边形BP1P2C的周长ABC的周长理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CMAB+AC，又P1P2P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2CBM+CMAB+AC，可得结论或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），BMP1中，BP1BM+MP1，AMN中，MP1+P1P2+P2MAM+AN，P2NC中，P2CP2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2CAB+AC，可得结论（4）四边形BP1P2C的周长ABC的周长理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在ABC内，转化为（3）情形，即可（5）比较四边形B1P1P2C1的周长ABC的周长理由如下：如图，分别作如图所示的延长线交ABC的边于M、N、K、H，在BNM中，NB1+B1P1+P1MBM+BN，又显然有，B1C1+C1KNB1+NC+CK，及C1P2+P2HC1K+AK+AH，及P1P2P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1AB+BC+AC，于是得结论点评：比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答三 如图，已知直线l1l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合记AEP=1，PFB=2，EPF=3（1）若点P在图（1）位置时，求证：3=1+2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出1、2、3之间的关系并给予证明；（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出1、2、3之间的关系考点：平行线的性质；三角形的外角性质专题：证明题；探究型分析：此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和1、2相等的角，然后结合这些等角和3的位置关系，来得出1、2、3的数量关系解答：解：（1）证明：过P作PQl1l2，由两直线平行，内错角相等，可得：1=QPE、2=QPF；3=QPE+QPF，3=1+2（2）3=2-1；证明：过P作直线PQl1l2，则：1=QPE、2=QPF；3=QPF-QPE，3=2-1（3）3=360-1-2证明：过P作PQl1l2；同（1）可证得：3=CEP+DFP；CEP+1=180，DFP+2=180，CEP+DFP+1+2=360，即3=360-1-2（4）过P作PQl1l2；当P在C点上方时，同（2）可证：3=DFP-CEP；CEP+1