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北京师范大学出版社 九年级（下册） 畅言教育正多边形与圆中的直角三角形题解每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，两个圆为同心圆. 外接圆的半径为正多边形的半径R，内切圆的半径为正多边形的边心距r .解决正多边形与圆的有关问题，常转化为直角三角形，斜边为正多边形的半径R，直角边分别为边心距r和边长的一半.正多边形可以转化为2n个全等的直角三角形，如图所示：OA为R，OB为r，AB为边长的一半，AOB为中心角的一半，等于.那么有：R= r+a,sinAOB=sin=,cosAOB=cos =（一） 知R、r、a、n（正多边形的边数）中的任意二个，可以求另外二个量.例1、正五边形的边长为a， 求半径及边心距.解：如上图， AOB=36；sin36= R=0.85a，cos36= r=R cos360.69 a（二） 知上述四个中的二个，求周长及面积.例2、已知正八边形的边心距为r，求此八边形的周长及面积.解：如上图，AOB=22.5=tan22.5a=2rtan22.5则L=8a=16rtan22.5 S=28ar=4ar=8r tan22.5（三） 正多边形割补后的面积例3、如图有一个正五边形的图案，它的边长为2cm，分别以每个顶点为圆心，1cm为半径作圆弧，求这些圆弧所围成的图形的面积（精确到0.1cm）分析：这里须求出正五边形面积，为此须求边心距r,再减去5个扇形面积，但关键的正五边形面积的计算.解：a：r=tan= tan36r=1.3764S=25ra=ar=6.872S=6.872-5=6.872-4.712.2（cm）（四） 正三边形、四边形、六边形的R、r、an内角中心角半径R边长a边心距r周长面积360120RR3RR49090RRR4R2R612060RRR6RR例4、一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们对应的面积比（ ）A、1：2 B、2：3 C、3：4 D、3：2解析：由上表可知，=3R， =6R= R=R，S=R，S= RS：S=R： R=2：3 选B（五） 同圆中，两个内接正多边形的周长与面积的关系同圆半径相等，a=2Rsin，r= Rcos.例5、 同圆中，内接等边三角形与内接正四边形的面积比为解析：a=2Rsin=2Rsin60
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