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(2010年)07级量子力学A卷答案与评分标准一、选择题（每小题2分，共20分）1.D, 2.C, 3.A, 4. A, 5. A, 6.C, 7.D, 8.D, 9.C, 10. C2、 填空题（每空2分，共20分）1.单值，连续，有限（平方可积）；2. t时刻粒子出现在区间的概率；2.对易（），；3.两个力学量对应的算符对易4. 0，0：，：，3、 证明题 (各5分，共15分) 1. 证明对易关系证明：2.已知算符A、B是厄米的，证明算符也是厄米的。证明：已知 ， （2分）3. 设、是不显含时间算符，并与、对应的力学量是守恒量，试证明对应的量也是守恒量。 证明： 因为、对应的量是守恒量，且、不显含时间t，且有 （2分） 因此有不显含时间。并有 所以 、是守恒量。 （3分） 四、方程求解题（每题10分，共20 分）1.粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和波函数。解：当xa时，有y=0；当0xa时，有 ， （2分）令 ，解出 。 （2分）X=0时,y=0,A=0；x=a时, y=0,Bsinaa=0, aa=np, ， （2分）。 （2分）由 ， （1分） （1分）2.厄米算符A与B满足 A、B均无简并，求：在A表象中A与B矩阵表示形式，并求A与B的本征函数表示式。解： 因为，算符的本征值为,在A表中，的矩阵表示式为对角阵，对角元为其本征值=， （1分）设的矩阵表示为， （2分），又因为 ，故有,于是，有，= （2分）在表象中，的波函数为基矢量，所以有：本征值为1的本征矢量为 本征值为-1的本征矢量为 （1分）设的本证矢量为， ，所以：，由归一化条件，有 相应的本征值为1，的本征函数为， （2分），所以：，由归一化条件，有，相应的本征值为， （2分）五、求算符平均值题（每题6分，共12 分）1. 氢原子处在基态，求动能平均值。解：（法1）： （3分） , , （2分） （1分）（法2）： （2分） （2分） （2分） 2. 在 本征态 下，求 解： 因为，而 （2分） （2分）所以， （1分） 六微扰计算题（13分） 设哈密顿在能量表象中的矩阵是,a,
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