排列组合资料(有分析).doc

第一部分：概念公式1、排列：从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2、组合：从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。3、加法原理：如果完成一项工作有两类相互独立的方式A和B,在方式A中有m种完成任务的途径,在方式B中有n种完成任务的途径,则完成这项工作的总的途径有m+n种.4、乘法原理：如果完成一项工作有两个连续的步骤A和B,在步骤A中有m种不同的方式,在步骤B中有n种不同的方式,则完成这项工作的总的方法有m*n种.注意：0！1第二部分：排列组合解决方法一：特殊元素和特殊位置优先策略是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 先排末位共有（ C(3,1) ）然后排首位共有（ C(4,1) ）最后排其它位置共有（ A(4,3) ）由分步计数原理得（ C(3,1)C(4,1)A(4,3)=288 ）练习：六人站成一排，求 (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，则直接符合要求，共有A(5,5)=120种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，则有A(4,1)可选，此时甲不能在排头则有A(4,1)可选，其余A(4,4)。则有A(4,1)A(4,1)A(4,4)=384种站法， 共共有504种种站法。 方法2：间接法一共有A(6,6)种方法 若A排头有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重复了A排头B排尾的情况有A(4,4)所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504方法3：插空法先让除A其余五个人任意排列 然后让A插入（不能插第一个位置）共有五个位置可插入则共有5A(5,5)其中排除B在尾的状况4A(4,4)则有5A(5,5)-4A(4,4)=504（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，则保证不相邻。有A（4,4）种方法。 第二类：甲在排尾，乙不在排头，且甲乙不相邻的有A(3,1)A（4,4）种方法。 第三类：乙在排头，甲不在排尾，且甲乙不相邻的有3A（4,4）种方法。 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有（中间四个位置挑二个不相邻的给甲乙）6A（4,4）种方法（排除相邻）。 共共A（4,4）+3A（4,4）+3A（4,4）+6A（4,4）=312。二：相邻元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.例：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.由分步计数原理可得共有A（5，5）*A（2，2）*A（2，2）=480练习1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有A（6，6）种排法,其中女生内部也有A（3，3） 种排法,根据乘法原理,共有A（6，6）*A（3，3）种不同的排法.三：不相邻问题插空策略元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端例.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A(5,5) 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法 A(6,4) ，由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A(5,5)*A(6,4) 种练习1：某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5，2）20 。例习2：马路上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。 共C（6，3）=20种方法。四：定序问题倍缩空位插入策略(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数例：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法A（7，7）/A（3，3）练习1：期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?答：1/2*A（9，9）练习2：有1、2、3，.，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？答案是A(9,5)/A(3,3)五：重排问题求幂策略一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种例：把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7种分法.,把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法练习1：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法答案：78练习2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为分析：插空法：先放入一个节目有六个位置。再放入另一个节目有七个位置。即6*7=42。六：一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究多排问题直排策略例：8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有A（4，2）种,再排后4个位置上的特殊元素有_A（4，1）种,其余的5人在5个位置上任意排列有_A（5，5）种,则共有A（4，2）*A（4，1）*A（5，5）种.七：元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用（m-1）块隔板，插入n个元素排成一排的(n-1)个空隙中，所有分法数为C(n-1,m-1)例：有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有_C（9，6）_种分法。练习1：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？答案：C（9，4）练习2：把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不小于其编号数，则不同的分发有多少种？分析1：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“|”（一般可视为“隔板”）共有C(6,2） 种插法，即有15种分法。八：排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题,先选后排（先处理组合再考虑排列）是最基本的指导思想.例:5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C(5,2)_种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_A(4,4) _种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_C(5,2)*A(4,4)_练习1：从0，l，2，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数? 分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。 （1）不取0时，从1到9取3个奇数2个偶数有C42C53=60种情况，然后排列成5位数有A55=120种情况。故有60120=7200种情况。（2）取0时，从1到9取3个奇数1个偶数有C41C53=40种情况，然后排列时0不可为首位，故有4A44=96种情况。故有4096=3840种情况。综上为11040 练习2：电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?(一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有C73C42种。(二）选择10层中的四层下楼有A104种。 共有C73C42 A104=1058400种。九：平均分组除法策略平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以A（n,n）(n为均分的组数)避免重复计数。例. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得C(6,2)c(4,2)c(2,2)方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则C(6,2)c(4,2)c(2,2) 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A(3,3) 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故有C(6,2)c(4,2)c(2,2)/A(3,3) 种分法练习1：将5位志愿者分成3组，其中各组2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有多少种？分析：部分均分问题(1)、将5位志愿者分成3组，其中各组2人，另一组1人的分法C(5,2)*C(3,2)*C(1,1)/A2(2)=15(2)、再分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有A(3,3)=6所以将5位志愿者分成3组，其中各组2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有15*6=90种练习2：10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同方法？分析：先算出10个人排433的方法C(10,4)*C(6,3)*C(3,3)=4200种再减去两个班长在同一组的可能。就是其他8人按照233，413，431三种方式分组 就是C(8,2)*C(6,3)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,1)*C(3,3)+C(8,4)*C(4,3)*C(1,1)=1120种4200-1120=3080种去掉重复的，3080/2=1540也就是说有1540种方法。十：环形（圆形）排列从n个不同的数中不重复的取出取出r个沿一圆周排列，不分首尾排成一个圆圈，称为圆周排列（也称循环排列,环形排列）。把n个不同的元素圆周排列，排列方案为：n!/n 从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：A(n,r)/rN个元素的圆周排列：A(n,n)/n=(n-1)!N个元素的项链排列：A(n,n)/2n例：8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即 7！ 练习1：五对夫妇围一圆桌而坐，则男女相间且夫妇相邻的坐法有分析：要求男女相间且夫妻相邻，则先将每对夫妻看成一个整体则环状排列A(5,5)/5，再考虑内部排序，因要求男女相间则只有二种方案故 A（5，5）*2/5=48练习2：四男四女围一圆桌而坐，男女相间的坐法有分析：直线排列男生A(4,4)女生A(4,4)男左女右或女左男右共二种故直线为A(4,4)A(4,4)*2,再环状A（4，4）*A（4，4）*2/8练习3：五男四女圍一圓桌而坐，若四女皆不相鄰，則有坐法解：五男先入坐之法為 其次由4女入坐5個間隔，其法P(5,4) 故坐法為4!*p(5,4)=2880種练习4： 有8个不同颜色的珠子,取6个串成一项链,试问有多少种方法？解：A(8,6)/6*2=1680十一. 合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。例9.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能够唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有_C(3,2)*C(3,2)_种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员_C(5,1)C(3,1)C(4,2)_种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有_C(5,2)C(5,2)_ 种，由分类计数原理共有_C(3,2)C(3,2)+C(5,1_种。练习1：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C（4，2）种，再排：在四个盒中每次排3个有A（4，3）种，故共有 种. C（4，2）A（4，3）=144练习2：9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 分析：先取男女运动员各2名，有C（5，2）C（4，2）种，这四名运动员混和双打练习有 中A（2，1）排法，故共有C（5，2）C（4，2）A（2，1）=120种练习3：3成人2小孩乘船游玩,A号船最多乘3人, B号船最多乘2人,C号船只能乘1人,分析：他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.首先人数可以有以下分配 A3,B2,C0 ； A3,B1,C1 ；A2,B2,C1 分情况讨论 A3,B2,C0 所有可能C（5，3）减去小孩独乘的可能(只有一种就是两个小孩都在B上) 种乘法（C（5，3）-1=9）种；A3,B1,C1 ：BC上肯定都是一个大人A（3，2），剩下一个大人和两个小孩乘A没得选： 种乘法A（3，2）=6；A2,B2,C1 首先A、B、C上肯定都有一个大人，所以有（C（3，1）C（2，1）C（2，1）C（1，1）C（1，1）=12）种乘法；答案：9+6+12=27十二.构造模型策略一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。例：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关 掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C（5，3）练习1：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？分析：4人选位A（4，4）=24然后4人旁边插空需5个空位 剩余的1个任意放在这5个中的一个即5种共24*5=120 十三.正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.例:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有_C（5，3）,只含有1个偶数的取法有_C（5，1）C（5，2）,和为偶数的取法共有_C（5，3）+C（5，1）C（5，2_再淘汰和小于10的偶数共_9_符合条件的取法共有_C（5，3）+C（5，1）C（5，2）-9_ （，）练习1：三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：比如说该题直接去求三角形的个数分类太多，比较复杂;换个方式思考，所求问题的方法数=任意三个点的组合数-三点共线的情况数。即C（9，3）-8=76（8：同行同列同斜线）练习2：正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共C（8，4）-12=70-12=58个。十四：实际操作穷举法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果十五. 分解与合成策略分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略例.:30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C(5,0)+C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)=32十六：化归策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题例：25人排成55方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9人排成33方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从33方队中选3人的方法有_C(3,1)C(2,1)C(1,1)_种。再从55方队选出33方队便可解决问题,从55方队中选取3行3列有_C(5,3)C(5,3)_选法所以从55方队选不在同一行也不在同一列的3人有_C(5,3)C(5,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)_选法。十七：数字排序问题查字典策略数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数例由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？首位是4或5的，都比324105大：首位有2种选择，后面5个数字全排列。2A（5,5）=240个首位是3，万位是4或5的，也比324105大：首位有1种选择，万位有2种选择，后面数字全排列：12A(4,4)=48个首位是3，万位是2，千位是5的，也比324105大：后三位全排列：A（3,3）=6个首位是3、万位是2、千位是4的当中比324105大的还有324510、324501、324150三个共有240+48+6+3=297个 练习1：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有多少个？分析1：231XX：23154234XX：A(2，2)=2235XX：A(2，2)=224XXX：A(3，3)=625XXX：A(3，3)=63XXXX：A(4，4)=2441XXX：A(3，3)=642XXX：A(3，3)=6431XX：A(2，2)=2432XX：A(2，2)=2435XX：43512共有2+2+6+6+24+6+6+2+2+1+1=58(个)分析2：23145-25431有17个（不包括23145）31245-35421有4*3*2*1=24个41235-43521有17个（不包括43521）17+24+17=58个分析3：由数字12345可以组成的所有没有重复数字的5位数,一共有5*4*3*2*1=120种。 23145的：1开头的有24种。21开头的有6种。23开头23145最小就1种 24+6+1=3143521的：5开头的有24种。45开头的有6种. 43开头43521最大就1种 24+6+1=31大于23145且小于43521的数=120-31-31=58十八：全错位排列公式：f(n)=(n-1) f(n-1)+f(n-2) 例：五个编号为15的小球放进5个编号为15的小盒里面，全错位排列（即1不放1，2不放2，依次类推）一共有多少种放法 。分析：令n1、2、3、4、5逐个推算的问题。 f(1)=0， f(2)=1 ，f(3)=2 ，f(4)=9， f(5)=44 答案是44种 附加题：历届高考排列组合1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。（即注意“松绑”）例1（1996年全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ ）A、720种B、360种 C、240种 D、120种解析：把甲、乙两人视为一人，这样6个人看作5个人，5个人的排法有A（5，5）种，甲乙两人还有顺序问题A(2，2），所以排法种数为故选C2. 不相邻问题插空排:元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.（2006年重庆文）高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）（A）1800 （B）3600（C）4320（D）5040解析：先将4个音乐节目，1个曲艺节目排列有A（5，5）种，再将2个舞蹈节目插入其中的6个“空”，有A（6，2）种插入方法，即得不同的排法共有A（5，5）*A（6，2）种，故选B3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.（2006年江苏理）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。解析：同色球不加以区分（即属相同元素排列的消序问题），先全排列A（9，9），在消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有种不同的方法。故填A（9，9）/A（2，2）/A（3，3）/A（4，4）=12604.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成.例4（2000全国文理）乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 .（用数字作答）解析：3名主力队员要安排在第一、三、五位置有A（3，3）种方法，从其余7名队员选2名安排在第二、四位置有种，共有A（7，2）种，故填A（3，3）A（7，2）=252例5(2004全国III)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ）A12种 B24种C36种 D48种解析：把四名教师分成3组只有一种分法（即2、1、1型）有C（4，2）方法，再把三组教师分配到三所学校有A（3，3）种，故共有 C(4,2)A(3,3)=36种方法. 故选C7.名额分配问题隔板法: 对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解。例6：某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）解析：将9个名额视为9个相同的小球排成一排为：，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C（8，5）种. 故应填568.限制条件的分配问题分类法:例7(2005福建文，理)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种 B240种 C144种 D96种解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不选，则有A（4，4）种；若选甲而不选乙，则有C（3，1）A（4，3）种；若选乙而不选甲，则有种类情况分别计数（4）甲乙都选则A(3,2)A(2,2)C(4,2)共，A（4，4）+2C（3，1）A（4，3）+A（3，2）A（2，2）C（4，2）=240例：8（2003年北京春）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A42 B30 C20 D12解析1：对新增的2个节目分类： 不相邻：有A（6，2）种，相邻：有2C（6，1）种，故不同插法的种数为42种。故选A解析2：利用“分步原理”：首先在原5个节目的6个“空隙”中插入一个节目有6种，然后再在这6个节目的7个“空隙”中插入一个节目有7种，因此共有种。故选A10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .例9（2006年湖北文）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是 .（用数学作答）解：解析：设全集 =5名歌手的出场顺序排列，A=某名歌手不第一个出场，B=另一名歌手不最后一个出场，根据求集合元素个数的公式得排法的种数共有：= 种. 故应填78解析2：与前题甲不在头乙不在尾类似。（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。 第一类：乙在排头，有A(5,5)=120种站法。 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有若B不排头则有C(4,1)C(4,1)A(4,4)=384种站法， 共共有504种种站法。 方法2：间接法一共有A(6,6)种方法 若A排头有A(5,5),B排尾有A(5,5),其中重复了A排头B排尾的情况有A(4,4)所以共有A(6,6)-2A(5,5)+A(4,4)=504方法3：插空法先让除A其余五个人任意排列 然后让A插入（不能插第一个位置）共有五个位置可插入则共有5A(5,5)其中排除B在尾的状况4A(4,4)则有5A(5,5)-4A(4,4)=50411.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例10（2006全国I）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）解析：甲、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有种，其余5人安排有种方法；所以共有A（5，2）A（5，5） 种。. 故应填240012.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例116个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A（6，6）=720种，选C .13.“至少”“至多”问题用分类法或间接排除法: 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删