一轮原创精品8.2 双曲线(word版).doc

精品系列资料 郑州市经五路66号400-688-1789 传播先进教育理念 提供最佳教学方法2013年高考一轮复习系列稿件专题八 8.2 双曲线【命题动态】高 频 考 点2010年2011年2012年双曲线的定义的应用全国15湖南5双曲线的方程及几何性质课标全国12天津5安徽5浙江8福建7江西15辽宁9江苏6山东8安徽2福建7湖南5辽宁13浙江8新课标8江苏8考情分析 双曲线的定义与几何性质是每年必考的内容，预测2013年将重点考查求双曲线离心率及范围，由渐近线求双曲线的方程并研究性质的问题.知识梳理1双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当ac时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0，cb0)考题解读典例研习：考点一：双曲线定义的应用双曲线的定义在解题中具有广泛的应用，在一些与焦点有关的计算问题(特别是焦点三角形问题)及轨迹的判断问题中经常使用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，若无“绝对值”，则只表示双曲线中的某一支例1 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_.【思路分析】由正弦定理可将转化为边的比，而ABC的顶点A、C已知，故边AC长可求，B在双曲线上，由定义可求|BC|BA|.【自主解答】由条件可知|BC|BA|10，且|AC|12，又在ABC中，有2R，从而.【方法技巧】圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决.变式训练1：（1）(2012湖南师大附中调研)已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为()A8 B9C16 D20【解析】由已知，|AB|AF2|BF2|20，又|AB|4，则|AF2|BF2|16.据双曲线定义，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，所以4a|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)16412，即a3，所以ma29，故选B.【答案】B（2）设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8C24 D48【解析】由P是双曲线上的一点和3|PF1|4|PF2|可知，|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6，又|F1F2|2c10，所以三角形PF1F2为直角三角形，所以PF1F2的面积S6824.【答案】C考点二：双曲线的方程及几何性质双曲线的几何性质涉及到“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点与虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形)，明确a，b，c的几何意义及它们的相互关系，容易使我们快速找到问题的切入点例2（1）已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2)，它们在x轴上有共同的一个焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是_（2）（2012浙江）如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A. B. C. D. （3）(2012北京西城)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_【思路分析】（1）根据焦点位置设双曲线方程然后待定系数求解；（2）通过垂直关系构建齐次式求离心率；（3）利用向量的数量积坐标式把表示为关于的函数，然后利用函数思想求最值.【自主解答】（1）因抛物线焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，又过点M(1,2)得p2，所以焦点为(1,0)，而双曲线焦点在x轴上，则设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，知c1,2a22，得a1a232，b222.所以双曲线标准方程为1.（2）由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以.故选B（3）由题可知A1(1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x1)，则(1x， y)， (2x，y)，(1x)(2x)y2x2x2y2x2x23(x21)4x2x5.x1，函数f(x)4x2x5的图象的对称轴为x，当x1时，取得最小值2.【方法技巧】 (1)将方程设为通式，可代表双曲线方程的两种类型，避免讨论；(2)研究含参数双曲线要注意焦点位置的判断和分类讨论；(3)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程一样，主要有直接法与间接法两种但求解时还须根据题目的实际条件，对双曲线方程有不同的设法，可以达到快速解题的目的，如本小题法二就是利用公共渐近线的双曲线系来巧设的（2）在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容： 已知双曲线方程，求它的渐近线；求已知渐近线的双曲线的方程； 渐近线的斜率与离心率的关系，变式训练2：（1）（2012河北唐山第一学期期末）4已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）ABCD【解析】由题意可设双曲线方程为，利用已知条件可得：双曲线方程为故选A.【答案】 A（2）（2012河南洛阳上学期期中）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A BC D【解析】由题意得，设双曲线的方程为，则渐近线方程为，则，又直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，所以，即，解得，故选D.【答案】D（2）若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C，) D，)【解析】由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21.设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)，32.故选B.【答案】B提升整理1.双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)2. 巧设双曲线方程(1)已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2ny21(mnb0)的焦点相同，则可设其方程为1(b2a2)3求双曲线的标准方程时，主要采用待定系数法，要注意区分焦点在哪个轴上4焦点弦、焦点三角形问题，要注意双曲线定义的应用和正余弦定理的应用5注意a，b，c的关系、渐近线方程及e的范围课堂训练，模拟考场1.（2012湖南）已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，即.又，C的方程为-=1.【答案】A2（2012河北石家庄第二次质检）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为A B C D【答案】C【解析】又因双曲线的焦点在轴上，故其渐近线方程为故答案为C.3曲线1(m6)与曲线1(7n10)的()A焦距相等 B焦点相同C离心率相等 D以上都不对【解析】方程1(m6)的曲线为焦点在x轴的椭圆，方程1的曲线为焦点在y轴的双曲线，(9m)(6m)(10n)(n7)3，两曲线的焦距相同【答案】A4.（2012全国）已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（A） （B） （C） （D）【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.【答案】C5.（2012福建）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 B. C.3 D.5【答案】 【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选6（2012河北唐山第二次模拟）直线l与双曲线C：交于A、B两点，M是线段AB的中 点，若l与OM （O是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A B C2 D 3【解析】设A（x1,y1）B（x2,y2）M(x0,y0),则，两式相减得，所以，所以，所以，即a=b,所以 故选A【答案】 A7.（2012江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【解析】由得.，即，解得.【答案】28在平面直角坐标系xOy中，双曲线1上任一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_【解析】将x3代入双曲线方程，求得y，而右焦点的坐标为(4,0)，由两点间的距离公式得d4.【答案】49过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则这样的直线存在_条【解析】lx轴时的焦点弦长|AB|4，最短为通径，故交右半支弦长为4的直线恰有一条；过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条【答案】310已知椭圆1和双曲线1有公共焦点(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l过焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程【解析】(1)依题意，有3m25n22m23n2，m28n2，即双曲线方程为1，故双曲线的渐近线方程是yx.(2)设渐近线yx与直线l：xc交于A、B，则|AB|，SOABc，解得c1，即a2b21，又，a2，b2.双曲线的方程为1.11已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且2a2c.(1)求双曲线的方程；(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM、PN的斜率均存在，求kPMkPN的值【解析】(1)依题意有：解得a21，b23，c24.可得双曲线方程为x21.(2)设M(x0，y0)，由双曲线的对称性，可得N(x0，y0)，设P(xP，yP)，则kPMkPN.又x1，y3x3，同理y3x3.kPMkPN3.12.已知双曲线C：y21，设过点A(3，0)的直线l的方向向量e(1，k)(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；(2)证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.【解析】(1)双曲线C的渐近线m：y0，直线l的方程xy30，直线l与m的的距离d.(2)(法一)设过原点且平行于l的直线b：kxy0，则直线l与b的距离为d，当k时，d.又