第07讲 等可能概型（古典概型）(II)

四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 1 概率论与数理统计 主讲主讲 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 3 四川大学四川大学 第第7讲讲 等可能概型等可能概型 古典概型古典概型 II 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 4 1 4 等可能概型等可能概型 古典概型古典概型 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 5 复习上一讲介绍的复习上一讲介绍的 古典概型中事件的概率计算公式古典概型中事件的概率计算公式 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 6 P A A S 包含的基本事件数 中基本事件的总数 A 有利于 的基本事件数 样本点总数 P A 这样这样 在等可能概型中在等可能概型中 要求一个事件的概要求一个事件的概 率率 只需弄清样本点总数只需弄清样本点总数 n 和该事件包含的和该事件包含的 或有利于该事件的或有利于该事件的 基本事件数基本事件数 k k n 等可能概型中事件的概率计算公式等可能概型中事件的概率计算公式 N A N S 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 7 求概率的例子求概率的例子 II 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 8 例例5 袋中有袋中有a只白球只白球 b只红球只红球 k个人依次取个人依次取 一只球一只球 分别就两种抽样方式分别就两种抽样方式 1 放回抽样放回抽样 2 不放回抽样不放回抽样 求第求第i个人取到白球的概率个人取到白球的概率 i 1 2 k k a b 解解 1 放回抽样放回抽样的情况的情况 每一个人都是从每一个人都是从a b个球中个球中 其中有其中有a只白球只白球 随随 机地取一只球机地取一只球 所以所以 记记Bi为为 第第i个人取到白球个人取到白球 i a P B 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 9 袋中有袋中有a只白球只白球 b只红球只红球 k个人依次取一只球个人依次取一只球 作作不放回抽样不放回抽样 求第求第i个人取到白球的概率个人取到白球的概率 2 不不放回抽样放回抽样的情况的情况 把把a只白球和只白球和b只红球都看作不同的只红球都看作不同的 则抽取顺序相当于把则抽取顺序相当于把 a b 个球作一个全排列个球作一个全排列 因此有因此有 a b 种不同的排列方式种不同的排列方式 N Sab 例如将其编号加以区分例如将其编号加以区分 a b 个球个球12 3 i 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 10 则抽取顺序相当于把则抽取顺序相当于把a b个球作一个排列个球作一个排列 因此有因此有 a b 种不同的排列方式种不同的排列方式 N Sab 让第让第 i 个球是白球有个球是白球有 a 种方式种方式 a个白球任选个白球任选 其余的其余的a b 1个球又有个球又有 a b 1 种排列方式种排列方式 1 i N Ba ab 因此第因此第 i 个球是白球有个球是白球有 a a b 1 种排列方式种排列方式 把把a只白球和只白球和b只红球都看作不同的只红球都看作不同的 于是于是 i 12 i P B i N B N S 1 a ab ab a ab 结果与结果与 i 无关无关 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 11 i P B i N B N S 1 a ab ab a ab 结果与结果与 i 无关无关 设有设有 n 张纸团张纸团 其中有其中有a 张奖券张奖券 k个人依次取一个纸团个人依次取一个纸团 则第则第 i 个人取到奖券的概率个人取到奖券的概率 i 1 2 k 是是 i P B a n 中奖的概率与抽奖的中奖的概率与抽奖的 先后次序无关先后次序无关 机会均等机会均等 这个结果也与这个结果也与放回抽样放回抽样的结果一样的结果一样 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 12 例例6 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 C 取到的数能被取到的数能被6或或8整除整除 D 取到的数既不能被取到的数既不能被6整除整除 也不能被也不能被8整除整除 解解CAB DC AB AB 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 13 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 求求A的概率的关键是求能被的概率的关键是求能被6整除的整数的个数整除的整数的个数 200 6 33 33 1 200中有中有33个数能被个数能被 6 整除整除 N A PA 6 1 2 33 An n 33N A for n from 1 to 33 do 6 n od 33 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 14 200 8 25 1 200中有中有25个数能被个数能被 8 整除整除 N B P B 8 1 2 25 Bnn 25N B 25 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 1 求求B的概率的关键是求能被的概率的关键是求能被8整除的整数的个数整除的整数的个数 四川大学四川大学 for n from 1 to 25 do 8 n od 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 15 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 C 取到的数能被取到的数能被6或或8整除整除 6 1 2 33 An n 8 1 2 25 Bn n N CN AB N AN B 68 ABk k 能被 和 整除2 4 k k 能被整除 200 8 33 24 8N AB 33258NC N AB 24是是6和和8的的 最小公倍数最小公倍数 四川大学四川大学 减去重复统计的数减去重复统计的数 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 16 6 1 2 33 An n AB 8 1 2 25 Bn n 33N A 25N B 8N AB N CN AB N AN BN AB 50 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 17 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 C 取到的数能被取到的数能被6或或8整除整除 6 1 2 33 An n 8 1 2 25 Bn n N CN AB N AN B 68 ABk k 能被 和 整除2 4 k k 能被整除 200 8 33 24 8N AB 33 25 8N C 50 N C PC N S 50 200 1 4 N AB 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 18 在在1 200的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数 求以下事件的概率求以下事件的概率 A 取到的数能被取到的数能被6整除整除 B 取到的数能被取到的数能被8整除整除 C 取到的数能被取到的数能被6或或8整除整除 D 取到的数既不能被取到的数既不能被6整除整除 也不能被也不能被8整除整除 1 4 P C DC P DP C 1 P C 1 1 4 3 4 在在1 200的整数中既不能的整数中既不能 能被能被6整除整除 也不能被也不能被8 整除的数的个数为整除的数的个数为 3 200 4 150 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 19 6n 8n 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 20 例例7 分组分派问题分组分派问题 把把10件不同的礼品分给件不同的礼品分给3个人个人 使得第一个人得使得第一个人得2 件礼品件礼品 第二个人得第二个人得3件礼品件礼品 第三个人得第三个人得5件礼件礼 品品 问一共有多少种不同的分法问一共有多少种不同的分法 解解 先从先从10个礼品中取出个礼品中取出2件给第一个人件给第一个人 共有共有 2 10 C种取法种取法 再从余下的再从余下的8个礼品中取出个礼品中取出3件给第二个人件给第二个人 共有共有 3 8 C 种取法种取法 最后从余下的最后从余下的5个礼品取出个礼品取出5件给第三个人件给第三个人 共有共有 5 5 C种取法种取法 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 21 分组分派问题分组分派问题 把把10件不同的礼品分给件不同的礼品分给3个人个人 使得第使得第1个人得个人得 2件礼品件礼品 第第2个人得个人得3件礼品件礼品 第第3个人得个人得5件礼品件礼品 问一共有多问一共有多 少种不同的分法少种不同的分法 根据乘法原理根据乘法原理 将将10件礼品分给这三人有件礼品分给这三人有 解解 先从先从10件礼品中取出件礼品中取出2件给第件给第1人人 共有共有 2 10 C种取法种取法 再从余下的再从余下的8件件礼品中取出礼品中取出3件给第件给第2个人个人 共有共有 3 8 C种取法种取法 最后从余下的最后从余下的5件礼品取出件礼品取出5件给第三个人件给第三个人 共有共有 5 5 C种取法种取法 235 CCC 种不同的分法种不同的分法 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 22 分组分派问题分组分派问题 把把10件不同的礼品分给件不同的礼品分给3个个 人人 使得第使得第1个人得个人得2件礼品件礼品 第第2个人得个人得3件礼件礼 品品 第第3个人得个人得5件礼品件礼品 问一共有多少种不同的问一共有多少种不同的 分法分法 根据乘法原理根据乘法原理 将将10件礼品分给这三人有件礼品分给这三人有 235 1085 CCC 种不同的分法种不同的分法 235 1085 CCC 10 2 8 8 3 5 5 5 0 10 2 3 5 2520 一共有一共有2520种不同的分法种不同的分法 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 23 把把10件不同的礼品分给件不同的礼品分给3个人个人 使得第使得第1个人得个人得2 件礼品件礼品 第第2个人得个人得3件礼品件礼品 第第3个人得个人得5件礼件礼 品品 一共有一共有种不同的分法种不同的分法 235 1085 CCC 10 2 3 5 分组分派分组分派 一般地一般地 把把 n 个不同元素分成个不同元素分成 k 个部分个部分 使使 得第得第 i 个部分有个部分有 ni个元素个元素 i 1 2 k 满足满足 则不同的分法的种数为则不同的分法的种数为 12 111 k k nnn nn nn nn C CC 12 k nnnn 12 n n nn 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 24 例例8 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 这这15本书中有本书中有3本精装书本精装书 问问 1 每个班分配到一本精装书的概率是多少每个班分配到一本精装书的概率是多少 2 3本精装书分配在同一个班的概率是多少本精装书分配在同一个班的概率是多少 解解 根据例根据例7 分组分配分组分配 将将15本不同的书平均地分配到三个班一共有本不同的书平均地分配到三个班一共有 555 15105 CCC 15 5 5 5 种不同的分法种不同的分法 四川大学四川大学四川大学四川大学 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 25 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 这这15本书中有本书中有3 本精装书本精装书 问问 1 每个班分配到一本精装书的概率是多每个班分配到一本精装书的概率是多 少少 2 3本精装书分配在同一个班的概率是多少本精装书分配在同一个班的概率是多少 1 将将3本精装书分配到本精装书分配到3个班个班 每班一本每班一本 有有 3 种分法种分法对三本精装书作全排列对三本精装书作全排列 对于这每一种分法对于这每一种分法 其余其余12本书平均分配到本书平均分配到3个个 班的分法有班的分法有 444 1284 C C C种种 理由同上理由同上 由乘法原理由乘法原理 每个班个分配到一本精装书有每个班个分配到一本精装书有 444 3 CCC种分配方式种分配方式 将将15不同的书平均地分配到三个班一共有不同的书平均地分配到三个班一共有 555 15105 CCC 15 5 5 5 种不同的分法种不同的分法 15 5 5 5 N S 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 26 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 的方式有的方式有 555 15105 C C C 种种 555 15105 N SC C C 1 每个班个分配到一本精装书的方式有每个班个分配到一本精装书的方式有 444 1284 3 C C C种种 每个班个分配到一本精装书的概率每个班个分配到一本精装书的概率 444 1284 1 555 15105 3 C C C p C C C 12 3 4 4 4 15 5 5 5 25 91 0 275 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 这这15本书中有本书中有3本本 精装书精装书 问问 1 每个班分配到一本精装书的概率是多少每个班分配到一本精装书的概率是多少 2 3本精装书分配在同一个班的概率是多少本精装书分配在同一个班的概率是多少 3 3 5 15 14 13 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 27 四川大学四川大学四川大学四川大学 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 的方式有的方式有 555 15105 C C C 种种 555 15105 N SC C C 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 这这15本书有本书有3 本精装书本精装书 问问 1 每个班分配到一本精装书的概率是多少每个班分配到一本精装书的概率是多少 2 3本精装书分配在同一个班的概率是多少本精装书分配在同一个班的概率是多少 2 将将3本精装书分配到同一个班本精装书分配到同一个班 有有 3 种分法种分法 对于这每一种分法对于这每一种分法 其余其余12本书分配到本书分配到3个班个班 有有 255 12105 CCC种分法种分法 由例由例7 由乘法原理由乘法原理 将将3本精装书分配到同一个班有本精装书分配到同一个班有 255 12105 3CCC种分法种分法 得精装书的班分配得精装书的班分配2本本 其他两个班各分配其他两个班各分配5本本 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 28 四川大学四川大学四川大学四川大学 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 的方式有的方式有 555 15105 C C C 种种 555 15105 N SC C C 将将15本不同的书随机地平均分配到三个班本不同的书随机地平均分配到三个班 这这15本书有本书有3 本精装书本精装书 问问 1 每个班分配到一本精装书的概率是多少每个班分配到一本精装书的概率是多少 2 3本精装书分配在同一个班的概率是多少本精装书分配在同一个班的概率是多少 2 将将3本精装书分配到同一个班有本精装书分配到同一个班有 255 12105 3C C C种分配方式种分配方式 将将3本精装书分配到同一个班的概率为本精装书分配到同一个班的概率为 255 12105 2 555 15105 3C C C p C C C 12 3 2 5 5 15 5 5 5 6 91 0 066 3 5 2 15 14 13 可能性可能性 不大不大 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 29 考研题评讲考研题评讲 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 30 1990年数学三第九题年数学三第九题 从从0 1 2 9 这十个数字中任意选出三这十个数字中任意选出三 个不同数字个不同数字 试求下列事件的概率试求下列事件的概率 A1 三个数字中不含三个数字中不含0和和5 A2 三个数字中不含三个数字中不含0或或5 解解 样本空间样本空间S中基本事件的个数为从中基本事件的个数为从10个数中个数中 任意取任意取3个数的组合数个数的组合数 即即 3 10 N SC 有利于有利于A1的基本事件的个数为从的基本事件的个数为从1 2 3 4 6 7 8 9 这这8个数任取个数任取3个数的组合数个数的组合数 即即 3 8 N AC 1 1 N A P A N S 3 8 3 C C 8 7 610 9 8 3 3 7 15 四川大学四川大学 四川大学四川大学第7 讲 等可能概型 古典概型 II 31 从从0 1 2 9 这十个数字中任意选出三个不同数这十个数字中任意选出三个不同数 字字 试求下列事件的概率试求下列事件的概率 A1 三个数字中不含三个数字中不含 0和和5 A2 三个数字中不含三个数字中不含0或或5 3 10 N SC 记记 B 三个数字中不含三个数字中不含0 C 三个数字中不含三个数字中不含5 则则 2 ABC 1 ABC 3 9 N BC 3 9 3 10 C P B C N C P C 2 P A P BC P BP CP BC 1 7 15 P A 9 8 7 10 9 8 7 10 777 101015 28 30 14 15 四川大学四川大学第7 讲等可能概型 古典概型 II 32 A的样本点的样本点 1992年数学三年数学三 第一第一 5 题题 将将C C E E I N S 等七个字母随机的等七个字母随机的 排成一行排成一行 那么那么 恰好排成英文单词恰好排成英文单词 SCIENCE的概率为的概率为 解解 将这七个字母视为不同的