模拟方法—概率的应用

3模拟方法 概率的应用 1 会用模拟方法估计概率 近似计算不规则图形的面积 求 的近似值 2 通过解决具体问题的实例感受 体会模拟方法的基本思想 学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法 通过模拟试验加深对随机事件频率的随机性和概率的稳定性的认识以及用频率去估计概率的方法 3 通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术带给数学的帮助 通过动手模拟 动脑思考 体会做数学题的乐趣 提高学习兴趣 通过合作试验 培养学生愿意合作与交流的团队精神 情感态度与价值观增强 本节课的主要特点是随机试验多 学习时养成勤学严谨的学习习惯 重点与难点 几何概型的概念 公式及应用 1 知识回顾 我们已经学习了两种计算事件发生的概率的方法 1 通过试验方法得到事件发生的频率 来估计概率 一种近似估计 需通过大量重复试验 2 用古典概型的公式来计算概率 仅适用于基本事件为有限个的情况 在概率论发展的早期 人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的 还必须考虑有无限多个试验结果的情况 常常会遇到试验的所有可能结果 即基本事件 为无穷多的情况 且这无穷多个基本事件保持这古典概型的 等可能性 这时用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率 也不能用古典概型的方法求解 例如一个人到单位的时间可能是8 00至9 00之间的任何一个时刻 往一个方格中投一个石子 石子可能落在方格中的任何一点 这些试验可能出现的结果都是无限多个 那怎么办呢 请观察下列问题并思考如何确定其概率 问题1 如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴影部分 那么怎样求这阴影部分的面积呢 问题2 一个人上班的时间可以是8 00 9 00之间的任一时刻 那么他在8 30之前到达的概率是多大呢 问题3 已知在边长为a的正方形内有一个半径为0 5的圆 向正方形内随机地投石头 那么石头落在圆内的概率是多大呢 带着上述的问题 我们开始学习新的内容 模拟方法与概率的应用 问题1 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外向内为黑色 白色 蓝色 红色 靶心为黄色 靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射击 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任意一点都是等可能的 那么射中黄心的概率有多大 1 试验中的基本事件是什么 射中靶面上每一点都是一个基本事件 这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 3 符合古典概型的特点吗 问题2 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 1 试验中的基本事件是什么 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 3 符合古典概型的特点吗 从每一个位置剪断都是一个基本事件 剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点 问题3 有一杯1升的水 其中漂浮有1个微生物 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个微生物的概率 1 试验中的基本事件是什么 2 每个基本事件的发生是等可能的吗 3 符合古典概型的特点吗 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件 微生物出现位置可以是1升水中的任意一点 1 一次试验的所有可能出现的结果有无限多个 2 每个结果发生的可能性大小相等 上面三个随机试验有什么共同特点 将古典概型中的基本事件的有限性推广到无限性 而保留等可能性 就得到几何概型 1 基本事件的个数有限 2 每一个基本事件都是等可能发生的 古典概型的本质特征 几何概型的特点 1 试验的所有可能出现的结果有无限多个 2 每个试验结果的发生是等可能的 古典概型与几何概型之间的联系 试验1 取一个矩形 在面积为四分之一的部分画上阴影 随机地向矩形中撒一把芝麻 以数100粒为例 假设每一粒芝麻落在正方形内的每一个位置的可能性大小相等 统计落在阴影内的芝麻数与落在矩形内的总芝麻数 观察它们有怎样的比例关系 分析 由于区域A的面积是正方形面积的1 4 因此大约有1 4的芝麻 25个 落在阴影部分A内 落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数 区域A的面积 正方形的面积 通过计算机做模拟试验 不难得出下面的结论 一般地 在向几何区域D中随机地投一点 记事件A为 该点落在其内部一个区域d内 则事件A发生的概率为 P A 区域d的面积 长度或体积 区域D的面积 长度或体积 注 利用这个定理可以求出不规则图形的面积 体积 D d 用模拟方法估计圆周率的值 基本思想 先作出圆的外切正方形 再向正方形中随机地撒芝麻 数出落在圆内的芝麻数和落在正方形中的芝麻数 用芝麻落在圆内的频率来估计圆与正方形的面积比 由此得出 的近似值 我国古代数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率 的值在3 1415926和3 1415927之间 这是我国古代数学家的一大成就 请问你知道祖冲之是怎样算出 的近似值的吗 正方形的面积 落在区域A内的芝麻数 落在正方形内的芝麻数 圆的面积 问题 如果正方形面积不变 但形状改变 所得的比例发生变化吗 每个事件发生的概率只与该事件区域的长度 面积或体积 有关 与图形的形状无关 例1某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 解 设A 等待的时间不多于10分钟 事件A恰好是打开收音机的时刻位于 50 60 分钟时间段内 因此由几何概型的概率公式得P A 60 50 60 1 6 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 例题讲解 例2 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概率 C 解 在AB上截取AC AC 故AM AC的概率等于AM AC 的概率 记事件A为 AM小于AC 答 AM AC的概率为 结论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度 构成事件A的区域长度 例3 小明家的晚报在下午5 30 6 30之间的任何一个时间随机地被送到 小明一家人在下午6 00 7 00之间的任何一个时间随机地开始晚餐 1 你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被送到哪一种可能性更大 2 求晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少 1 设计一个模拟方案 晚报在5 00 6 00之间送到 或晚餐在6 30 7 00之间开始 这两种情况都使得晚报的送达在晚餐开始之前 因此晚报在晚餐开始之前被送到的可能性更大 我们用模拟方法来估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率 用两个转盘来模拟上述过程 一个转盘用于模拟晚报的送达 另一个转盘用于模拟晚餐 两个转盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟 2 理论上的精确值 7 8 0 875 如果小明家的晚报在下午5 45 6 45之间的任何一个时间随机地被送到 小明一家人在下午6 00 7 00之间的任何一个时间随机地开始晚餐 你认为晚报在晚餐开始之前被送到可能性是变大了还是变小了呢 变小了 有一杯1升的水 其中含有1个细菌 用一个小杯从这杯水中取出0 1升 求小杯水中含有这个细菌的概率 分析 细菌在这升水中的分布可以看作是随机的 取得0 1升水可作为事件的区域 解 取出的0 1升水中含有这个细菌 这一事件记为A 则 结论 试验的所有可能出现的结果所构成的区域的体积 构成事件A的区域的体积 1 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型 使用几何概型的概率计算公式时 一定要注意其适用条件 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成正比例 而与事件的位置及形