工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动.ppt

第七章理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 本章内容 在许多工程实际问题中 流动参数不仅在流动方向上发生变化 而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化 要研究此类问题 就要用多维流的分析方法 本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律 为解决工程实际中类似的问题提供理论依据 也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础 第一节流体流动的连续性方程 首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程 3 22 在方向上 单位时间通过EFGH面流入的流体质量为 单位时间通过ABCD面流出的流体质量 则在方向单位时间内通过微元体表面的净通量为 b a 即 c1 a b 同理可得和方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为 c2 c3 因此 单位时间流过微元体控制面的总净通量为 c 微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化率为 d 将式 c d 代入式 3 22 同除以 则可得到微分形式的连续性方程 或 连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控制体表面上的净通量 它适用于理想流体和粘性流体 定常流动和非定常流动 在定常流动中 由于 对于不可压缩流体 常数 或 在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 对于不可压缩流体 式中为极径 为极角 球坐标系中的表示式为 式中为径矩 为纬度 为径度 例7 1 已知不可压缩流体运动速度在 两个轴方向的分量为 且在处 有 试求轴方向的速度分量 解 对不可压缩流体连续性方程为 将已知条件代入上式 有 又由已知条件对任何 当时 故有 第二节流体微团的运动分析 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性 极易变形 因此 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动 而且还会发生变形运动 一般情况下 流体微团的运动可以分解为移动 转动和变形运动 1 平移运动 如图所示 矩形ABCD各角点具有相同的速度 导致矩形ABCD平移 x dt y dt 其ABCD的形状不变 2 线变形运动 如图所示 线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的变化率 即线变形速率和 导致矩形ABCD的变形量 3 角变形运动和旋转运动 如图7 4 c d 所示 当 当 矩形ABCD只发生角变形运动 如图所示 当 矩形ABCD只发生旋转运动 形状不变 在一般情况下 的同时 还会发生角变形运动 如图 e 所示 亦就是矩形ABCD在发生旋转运动 在角变形运动和旋转运动同时发生的情况下 将会有以下关系式 于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量 同理 沿x y轴流体微团的旋转角速度分量分别为 流体微团的旋转角速度定义为 其中 流体微团的旋转角速度分量及模量为 流体微团沿z轴的角变形速度分量 同理 可有流体微团角变形速度之半分量及其模量为 前面在流体微团的分析中 已给出E点的速度为 如果在上式的第一式右端加入两组等于零的项 其值不变 经过简单组合 可将该式写成 同理 有 将旋转角速度分量 角变形速度之半代入以上三式 便可将式写成 上式表明 各速度分量的第一项是平移速度分量 第二 三 四项分别是由线变形运动 角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量 此关系也称为海姆霍兹 Helmholtz 速度分解定理 该定理可简述为 在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分 分别为与O点相同的平移速度 平移运动 绕O点转动在A点引起的速度 旋转运动 由于变形 包括线变形和角变形 在A点引起的速度 变形运动 第三节有旋流动和无旋流动 根据流体微团在流动中是否旋转 可将流体的流动分为两类 有旋流动和无旋流动 数学条件 当 当 无旋流动 有旋流动 通常以是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件 在笛卡儿坐标系中 即当流场速度同时满足 时流动无旋 需要指出的是 有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定 而与流体微团本身的运动轨迹无关 如图 a 流体微团的运动为旋转的圆周运动 其微团自身不旋转 流场为无旋流动 图 b 流体微团的运动尽管为直线运动 但流体微团在运动过程中自身在旋转 所以 该流动为有旋流动 a b 例7 2 某一流动速度场为 其中是不为零的常数 流线是平行于轴的直线 试判别该流动是有旋流动还是无旋流动 解 由于 所以该流动是有旋运动 第四节理想流体运动微分方程式欧拉积分和伯努利积分 一 运动微分方程 理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础 可以用牛顿第二定律加以推导 微元体在质量力和表面力的作用下产生的加速度 根据牛顿第二定律 两端同除以微元体的质量 并整理有 写成矢量式 将加速度的表达式代入有 其矢量式为 上式为理想流体运动微分方程式 物理上表示了作用在单位质量流体上的质量力 表面力和惯性力相平衡 该式推导过程中对流体的压缩性没加限制 故可适用于理想的可压流体和不可压缩流体 适用于有旋流动和无旋流动 将上式作恒等变形 便可以直接由运动微分方程判定流动是有旋还是无旋流动 在上式的第一式右端同时 据旋转角速度分量公式 如果流体是在有势的质量力作用下 流场是正压性的 则 此时存在一压强函数 将压强函数对坐标的偏导数有 将上述关系代入兰姆运动微分方程 得 二 欧拉积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时 上式右端为零 若在流场中任取一有向微元线段dl 其在三个坐标轴的投影分别为dx dy dz 将它们分别依次乘上式并相加 得 上式为欧拉积分的结果 表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常无旋流动时 单位质量流体的总机械能在流场中保持不变 三 伯努利积分 当理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时 式右端第一项等于零 由流线的特性知 此时流线与迹线重合 在流场中沿流线取一有向微元线段dl 其在三个坐标轴上的投影分别为dx vxdt dy vydt dz vzdt 将它们的左 右端分别依次乘式的左 右端 相加有 该积分为伯努里积分 表明理想正压性流体在有势的质量力作用下作定常有旋流动时 单位质量流体的总机械能沿流线保持不变 通常沿不同流线积分常数值有所不同 第五节理想流体的旋涡运动 本节主要讲述理想流体有旋运动的理论基础 重点是速度环量及其表征环量和旋涡强度间关系的斯托克斯定理 一 涡线 涡管 涡束和旋涡强度 涡量用来描述流体微团的旋转运动 涡量的定义为 涡量是点的坐标和时间的函数 它在直角坐标系中的投影为 在流场的全部或部分存在角速度的场 称为涡量场 如同在速度场中引入了流线 流管 流束和流量一样 在涡量场中同样也引入涡线 涡管 涡束和旋涡强度的概念 1 涡线 涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线 如图所示 根据涡通量矢量与涡线相切的条件 涡线的微分方程为 2 涡管 涡束 在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线 在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管 如图7 8所示 截面无限小的涡管称为微元涡管 涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束 微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝 3 旋涡强度 涡通量 在涡量场中取一微元面积dA 见图 其上流体微团的涡通量为 为dA的外法线方向 定义 为任意微元面积dA上的旋涡强度 也称涡通量 任意面积A上的旋涡强度为 如果面积A是涡束的某一横截面积 就称为涡束旋涡强度 它也是旋转角速度矢量的通量 旋涡强度不仅取决于 而且取决于面积A 二 速度环量 斯托克斯定理 1 速度环量 在流场的某封闭周线上 如图7 9 b 流体速度矢量沿周线的线积分 定义为速度环量 用符号表示 即 速度环量是一代数量 它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关 对非定常流动 速度环量是一个瞬时的概念 应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算 积分时为参变量 2 斯托克斯 Stokes 定理 在涡量场中 沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度 即 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来 给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法 例7 3 已知二维流场的速度分布为 试求绕圆的速度环量 解 此题用极坐标求解比较方便 坐标变换为 速度变换为 例7 4 一二维涡量场 在一圆心在坐标原点 半径的圆区域内 流体的涡通量 若流体微团在半径处的速度分量为常数 它的值是多少 解 由斯托克斯定理得 三 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理 1 汤姆孙 Thomson 定理 理想正压性流体在有势的质量力作用下 沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化 即 第六节二维旋涡的速度和压强分布 假设在理想不可压缩的重力流体中 有一象刚体一样以等角速度绕自身轴旋转的无限长铅垂直涡束 其涡通量为J 涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴等速圆周运动 由斯托克斯定理知 由于直线涡束无限长 该问题可作一个平面问题研究 可以证明涡束内的流动为有旋流动 称为涡核区 其半径为 涡束外的流动区域为无旋流动 称为环流区 在环流区内 速度分布为 在环流区内 压强分布由伯努里方程式导出 环流区内半径为的点和无穷远处的伯努里方程 式中的即为 为无穷远处的压强 将代入上式得 由上式可知 在涡束外部的势流区内 随着环流半径的减小 流速上升而压强降低 在涡束边缘上 流速达该区的最高值 而压强则是该区的最低值 即 涡束内部的速度分布为 由于涡束内部为有旋流动 伯努利积分常数随流线变化 故其压强分布可由欧拉运动微分方程导出 对于平面定常流动 欧拉运动微分方程为 将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上 则有 代入上式得 将和分别乘以以上二式 相加后得 或 积分得 在与环流区交界处 代入上式 得积分常数 得涡核区的压强分布为 由上式可知涡管中心的压强最低 其大小为 涡核区边缘至涡核中心的压强差为 由以上讨论可知 涡核区和环流区的压强差相等 其数值均为 涡核区的压强比环流区的的低 在涡束内部 半径愈小 压强愈低 沿径向存在较大的压强梯度 所以产生向涡核中心的抽吸作用 涡旋越强 抽吸作用越大 自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征 具有很大的破坏力 在工程实际中有许多利用涡流流动特性装置 如锅炉中的旋风燃烧室 离心式除尘器 离心式超声波发生器 离心式泵和风机 离心式分选机等 第七节速度势和流函数 一速度势函数 证明 无旋条件是速度有势的充要条件 无旋必然有势 有势必须无旋 所以无旋流场又称为有势流场 速度势的存在与流体是否可压缩 流动是否定常无关 结论 在柱坐标系中 势函数的特性 1 有势流动中沿AB曲线的速度线积分等于终点B和起点A的速度势之差 上式表明 由于速度势是单值的 则该线积分与积分路径无关 2 速度沿封闭周线积分时 周线上的速度环量等于零 式中为拉普拉斯算子 满足拉普拉斯方程的函数为调和函数 故速度势是调和函数 2 势函数是调和函数 在柱坐标系中 在笛卡儿坐标系中 平面不可压缩流体流函数的基本性质 1 等流函数线为流线 当常数时 即 在笛卡儿坐标系中 平面 不可压缩流体的连续性方程可写成 若定义某一个函数 令 2 流体通过两流线间单位高度的体积流量等于两条流线的流函数之差 不论是理想流体还是粘性流体 不论是有旋的还是无旋的流动 只要是不可压缩 或定常可压缩 流体的平面 或轴对称 流动 就存在流函数 2 流函数是调和函数 由不可压缩流体 平面 无旋流动条件有 将速度和流函数的关系代入上式得 在极坐标系中 三速度势函数和流函数的关系 两族曲线的正交条件 在平面上它们构成处处正交的网络 称为流网 第八节几种简单的平面势流 一 均匀等速流 二 点源和点汇 三 点涡 流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流 若流线平行且流速相等 则称均匀等速流 积分得 积分得 取积分常数为零 等势线 流线 一均匀等速流 流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流 若流线平行且流速相等 则称均匀等速流 7 43c 7 43d 图7 13均匀等速流 由于流场中各点的速度相同 流动无旋 故处处有常数 即在流场中各点的总势能保持不变 若是水平面上的均匀等势流 或者不计重力的影响 例如大气 则p 常数 即压强在流场中处处相等 二点源和点汇 无限大平面上 流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动 称为点源 这个点称为源点 如果流体沿径向均匀的流向一点 称为点汇 这个点称为汇点 不论是点源还是点汇 流场中只有径