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文档简介

构造拉格朗日插值多项式 其形式具有对称性 即便于记忆 必须全部重新计算 插商与牛顿 Newton 插值多项式 由于公式中的 都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时 又便于应用与编制程序 这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式 即 其中系数 可由插值条件 记为 为克服这个缺点 把插值多项式构造成如下形式 确定 定义1设函数f x 在点 为f x 在点 处的一阶差商 记为 即 称一阶差商的差商 为f x 在 处的二阶差商 记为 上的值依次为 称 互异 为此我们引入差商概念 一般地 称m 1阶差商的差商 为f x 在点 特别地 规定零阶差商 处的m阶差商 即 为便于应用 通常采用差商表 例如 性质1k阶差商 是由函数值 线性组合而成的 即 性质2差商具有对称性 即在k阶差商 中任意调换2个节点 和 差商有如下性质 的顺序 其值不变 性质3k阶差商 和k阶导数 之间有如下重要关系 有了差商的概念和性质后 我们就可以用差商来表示牛顿差值多项式中的系数 由插值条件 可得 由插值条件 可得 由插值条件 可得 一般地 可以证明有 于是 满足插值条件 的n次牛顿插值多项式为 例3已知函数表 试用牛顿线性插值与抛物线插值求 的近似值 并估计截断误差 解 先构造差商表 取 由差商表 牛顿插值多项式的系数依次为 牛顿线性插值多项式为 牛顿抛物线插值多项式为 所求近似值为 所求近似值为 可知近似值 与 的截断误差分别为 由插值余项公式 在实际计算中 特别是在函数f x 的高阶导数比较复杂或f x 的表达式没有给出时 由性质3 我们可以用差商表示的余项公式 实际计算中 当n 1阶差商变化不激烈时 可用 近似代替 取 来估计截断误差 例3中 若用此方法估计截断误差 则有 与实际误差 相当接近 练习 给定数据如下 x11 502f x 1 252 501 005 50 用牛顿二次 三次插值多项式近似计算f 1 46 的值
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