不变因子、smith.doc

第三章 矩阵的Jordan标准形矩阵又称多项式矩阵，是矩阵理论的重要内容。本章将讨论矩阵和数字矩阵的相似标准形，包括矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵的Smith标准形等。对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、矩阵对角化的充要条件定理：阶方阵可通过相似变换对角化的是它具有个线性无关的特征向量。证明：充分性：已知具有个线性无关的特征向量，则 线性无关，故为满秩矩阵，令 ，则有 必要性：已知存在可逆方阵，使 将写成列向量，为维列向量 可见，为的特征值，为的特征向量，具有个线性无关的特征向量。推论：阶方阵有个互异的特征值，则必可对角化（充分条件）P41 例3.1二、酉对角化正规矩阵 设,若满足 则称A为正规矩阵。特别,当时，若满足 称A为实正规矩阵。显然，对角矩阵, 矩阵与反矩阵与酉矩阵都是正规矩阵， 而正交矩阵，实对称矩阵与实反对称矩阵都是实正规矩阵。Schur引理：设数是阶方阵的特征值，则存在酉矩阵，使 (上三角阵) 什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？定理：阶方阵酉相似于对角阵的充要条件是：为正规阵（实或复）。证明： 由Schur引理：存在酉矩阵使得 是的特征值。充分性:已知为正规阵，即，要证 由对角元素相等可得，必要性：已知存在酉矩阵使，要证为正规矩阵。可逆 对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式Jordan标准形。3.1不变因子与初等因子多项式矩阵形如的形矩阵称为矩阵或多项式矩阵，其中为的多项式 数字矩阵和特征矩阵都是矩阵的特例矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律对的方阵可类似定义行列式、子式、余子式、伴随矩阵等概念矩阵的秩：定义：如果矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式（如果存在的话）全为零，则称的秩为，记为零矩阵的秩为当时，称为满秩的或非奇异的逆矩阵定义：设有阶矩阵、，若可使成立，则称为可逆的，称为的逆矩阵，记为满秩的矩阵不一定可逆定理1阶矩阵可逆的充要条件是的行列式是一个非零常数证明：若矩阵可逆，则由定义，两边取行列式由于、都是的多项式，所以、都是常数反之，设，则所以是可逆的其中是的伴随矩阵例1矩阵 可逆 不可逆多项式矩阵的初等变换初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性的前提下形式上变得简单。（1） 互换变换 互换两行（列） （2） 倍乘变换 以非零常数乘以某行（列） 这里不能乘以的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性（3） 倍加变换 将某行（列）乘以的多项式加到另一行（列）矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵相应的初等矩阵如下：可见，初等变换和初等矩阵都是可逆的，定理2对任意一个的矩阵，作一次某种初等行（列）变换， 相当于给左（右）乘一个相应的阶（阶）初等矩阵等价定义2设、是两个同形的矩阵，如果可以经过有限次初等变换化为，则称与是等价的， 记作由定义可知，等价关系具有性质： 自反性；对称性;传递性可得 的充要条件是存在一些阶与阶的初等矩阵，分别左乘与右乘得到.注意,如果两个矩阵等价,则其秩相等;反之则不然.这也是矩阵与数字矩阵的不同之处.例如: , 秩相等,但不等价.Smith标准形引理：若多项式矩阵的左上角元素，且中至少一个元素不能被整除，则必可找到一个与等价的多项式，其左上角元素也不等于零，且的次数低于的次数。证明： P53定理3若，则 其中，上述中的多项式为首1多项式. 为在等价下的标准形式，称为Smith标准形.证明：P54例3 化为Smith标准形.解 例4 化 为史密斯标准形。解：这便是所求的标准形，并且.不变因子与初等因子组行列式因子： 定义3 阶矩阵中所有阶非零子式的首项系数为1的最大公因式称为的阶行列式因子，记为. 由定义知即为的行列式的值，显然 (称为依次相除性)，. 若的秩为，则，但，记 则是个首1的多项式.不变因子：定义4 上式中称为的不变因子. 关系：如例3 在例3中，即为的不变因子.定理4 等价的阶-矩阵有相同的各阶行列式因子及不变因子.显然， 的Smith标准形中的就是它的不变因子.由此可知阶-矩阵的Smith标准形唯一.例5 设，求的Smith标准形及不变因子.解虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，故不是Smith标准形.方法一 用初等变换化为Smith标准形.其不变因子为 方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算， 与 两个子式的公因式为1知行列式因子为 不变因子为:，所以的Smith标准形为:.初等因子：不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂为初等因子所有幂指数不为0者，即不是常数1的，；的因式(连同它的指数幂)称为的初等因子， 全体初等因子的集合称为初等因子组.例如:初等因子组中应包括两个。注：初等因子组中可以有相同者.例5中，的不变因子为1，所以它的初等因子组为，.定理3.6 阶矩阵、等价的充要条件是它们有相同的初等因子组且秩相等.需要说明的是仅仅初等因子组相同不能保证它们等价，例如尽管它们的初等因子组相同，但因为两者的秩不等，显然不等价. 为了求的初等因子，需要将化为Smith标准形，这往往较困难，实际上只要将化为对角阵或分块对角阵即可，因为有以下结论：若矩阵 则的各个初等因子组的全体即为的全体初等因子组.在例5中：尽管不是Smith标准形，但它是对角阵，故它的初等因子组为，这与前面所得的结论是一致的.两条路线：1，的史密斯标准形不变因子、行列式因子初等因子2，不变因子的史密斯标准形初等因子形可见，关键是求不变因式例6 求的矩阵 的不变因子和初等因子组，其中是常