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与三角形形状相关的向量问题题1：已知非零向量与满足= 0且，则ABC为( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，= 600 . 所以ABC为等边三角形，选D .题2：已知O为ABC所在平面内一点，满足，则ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：由已知得，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以ABAC，选B .题3：已知ABC，若对任意，则ABC( )A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形C. 必为直角三角形 D. 答案不确定解法1：，式右边表示A、C两点之间的距离，记，则式左边表示直线BC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由恒成立知，A在直线BC上的射影就是C点，所以ACBC，故选C .解法2：令，过点A作ADBC于点D, 由，得，令f (t) =，则f (t)恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =时，f (t)取最小值，此时：，即，从而有| AD | | AC | , , 故选C.题4：已知a, b, c分别为ABC中A, B, C的对边，G为ABC的重心，且= 0, 则ABC为( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等边三角形解：G是ABC的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共线，a c = b c = 0, 即a = b = c. ABC为等边三角形. 选D.与三角形面积相关的向量问题命题：平面内点O是ABC的重心，则有 .题5：已知点O是ABC内一点，= 0, 则：(1) AOB与AOC的面积之比为_；(2) ABC与AOC的面积之比为_；(3) ABC与四边形ABOC的面积之比为_.解： (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则= 0, 所以O是AEF的重心. ，.(2) ，ABCMONE=，又, .(3) =， .向量的基本关系(共线、垂直、夹角)命题：A、B、C三点共线，且(O为平面上任一点).题6在ABC中，已知D是AB边上一点，若，则=( ) A. B. C. D.解：由上述命题的结论可知选A .题7：如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则m + n =_.解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C重合，则m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三点共线，,m + n = 2.解3：过点B作BEAC, 则，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .GABCMPQ题8：如图，已知点G是ABC的重心，若过ABC的重心，记= a,= b, = ma , = nb , 则=_.解：=a +b =,P、G、Q三点共线，= 3 .题9：(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2) 已知，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1) = k + (k2 + 1)12cos1200 + 4k = k2 +