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6 8隐函数存在定理 y f x 形式的函数称为显函数 由方程F x y 0所确定的函数y f x 称为隐函数 由方程F x y z 0所确定的二元函数z f x y 称为隐函数 可确定隐函数u u x v v x 本节讨论 1 方程在什么条件下才能确定隐函数 例如 方程 当C 0时 能确定隐函数 当C 0时 不能确定隐函数 2 在方程能确定隐函数时 研究其连续性 可微性 及求导方法问题 1 一个方程的情况 定理1 设在一点的邻域内有定义 且满足下列条件 则在的某个邻域内存在一个函数y f x 使得且 并且内有连续的导函数 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 两边对x求导 在 的某邻域内 则 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 并求 定理2 设在点的某邻域内有连续的偏导数 且 且有连续偏导数 则在点的某个邻域内 方程唯一确定一个隐函数满足 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 两边对x求偏导 同样可得 则 例2 解法1 利用公式 令 则 解法2利用隐函数求导 方程两端关于x求偏导 得 方程两端关于y求偏导 得 说明 利用公式法求偏导时 将方程F x y z 0中x y z视作独立变量 利用隐函数求偏导时 将z视作x y的函数 z z x y 例3求由方程 解 设u x y v y z 为了方便起见 引入记号 2 方程组的情况 可确定隐函数u u x v v x 先介绍线性代数中的克莱姆法则 二元一次方程组 我们的问题相当于解方程组 方程组有惟一解 当F及G是一般函数时 需要下列条件 行列式称作F G的雅可比行列式 定理3 在点的一个邻域内存在唯一的一对可微函数使得且满足方程组 的导函数由下列方程组求出 证明略 定理3的推广 考虑方程组 有隐函数组 则 两边对x求导得 设方程组 在点P的某邻域内 故得 系数行列式 同样可得 例4由方程组 能否确定u v为x与y的函数 在能确定隐函数的条件下 求 解 方程组两边对x求导 并移项得 方程组两边对x求导 并移项得 用克莱姆法则解方程组 方程组两边对y求导 并移项得 解得 解以为未知数的方程组 得 补例 解 内容小结 1 隐函数 组 存在定理 2 隐函数 组 求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 方法2 利用微分形式不变性 方法3 代公式 思考与练习 设 求 提示 解法2 利
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