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不等式中的一对姐妹花 魏烈斌湖北省荆州中学 434020若是正数，且，则有： （） 当且仅当时取等号. （） 当且仅当时取等号.这两个不等式堪称一对姊妹花，漂亮而有趣. 下面给出这对不等式的证明.证明：由条件知至少有一个不大于，不妨设.因为，所以 （） 因为 所以函数在上递减，从而等号成立当且仅当.所以于是要证明，只需证明 即 记左边-右边=，则 从而式成立.等号成立当且仅当.所以 当且仅当时取等号.（） 另一方面，由于 .而. 所以.这说明为上的减函数，所以= 即要证明 即证：而上式左边0从而不等式成立 . 当且仅当时取等号.上述证明方法虽然精妙，但是不便于推广.下面给出几个命题（即（）、（）的推广）：对于正数，若，证明或否定： （）（）（）（）其中，为常数，且.并且当且仅当时取等号. 该文发表在数学通讯2007年第5期.4
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