2010-2012年华约数学试题及解析.doc

2012年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试数学部分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在锐角中，已知,则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) （2）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种（3）正四棱锥中，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成二面角为，侧棱与底面正方形的对角线所成角为，相邻两侧面所成二面角为， 则之间的大小关系是（ ） (A) (B) (C) (D) （4）向量，。若，则（ ）(A) (B) (C) (D) （5）若复数的实部为0，是复平面上对应的点，则点的轨迹是( )(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧（6）椭圆长轴长为4，左顶点在圆上，左准线为轴，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D) 解：令 其实部为0，所以2x-1=0(yR),这就是所求轨迹的实方程，是一条平行纵轴的直线。（7）已知三棱锥的底面为正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角为30，且，则此三棱锥的体积为（ ）(A) (B) (C) (D) （8）如图，在锐角中，边上的高与边上的高交于点。以为直径作圆与的另一个交点为。已知，则的长为（ ）(A) (B) (C)10 (D) 解答:连接DF，则有DF垂直AC,由已知条件有cosB=,cosC=,所以sinB=,sinC=，于是sinA=sin(B-C)=sinBcosC+sinccosB=sinB.因此A=B,即ABC为等腰三角形，于是由CD垂直可得AC=25,AD=DB=15,AE=AC-CE=25-7=18.又因为CDB=CEB=，所以B,C,D，E四点共圆，ABC=BAE,因此ADE为等腰三角形，所以，DF 垂直AC知，AF=FE=9（9）已知数列的通项公式为，。是数列的前项和。则（ ）(A) 0 (B) (C) (D) （10）已知，当取得最大值时，在 这十个数中等于的数共有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D) 4个二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）(本小题满分14分)在中，的对边分别为。已知 求的大小 若，求的值（12）(本小题满分14分)已知两点，动点在轴上的射影是，且 求动点的轨迹的方程 已知过点的直线交曲线于轴下方不同的两点，设的中点为，过于点作直线，求直线斜率的取值范围。解：（1） 设P(x,y),则H(0，y),由（2） 令CD:代入，整理得因为直线在x轴下方交P点轨迹于C()，D()两点所以上式有两个负根，由根据韦达定理，得CD中点M的坐标为代入直线MQ的方程y+2=kx,(k为其斜率)得所以，k=,(1.（13）(本小题满分14分)系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作。系统正常工作的概率称为系统的可靠性。（1） 某系统配置有个元件，为正整数，求该系统正常工作概率的表达式（2） 现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件。试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性。解答：显然,注意到，所以=因此，当p时，递增，当P时，递减。(14) (本小题满分14分)记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。证明一：用数学归纳法证明有唯一解且严格单调递增，无实数解，显然n=1时，此时有唯一解，且严格单调递增，而无实数解，现在假设有唯一解且严格单调递增，无实数解，于是注意到时，对任意的0kn有x+2k+10,于是，所以又因为所以由严格递增知有唯一根0，对于有，所以（，）上，递减，在（，+）上，递增，所以因此，无实数解综上所述，对任意正整数n,当为偶数时无解，当为奇数有唯一解。再证，事实上，由的严格单调性，只需验证，注意到，由上述归纳法证明过程中，所以，因此，综上所述，原命题得证。证明二记我们对使用数学归纳法证明加强命题，方程在为偶数的时候实数上恒大于零，在为奇数的时候，在实数上严格单调递增并且可以取遍所有实数。（） 当,的时候，直接验证，结论显然成立。（） 当=的时候结论成立，那么，=的时候：是偶数的时候，那么由归纳假设，我们知道存在一个的根，使得在的时候，在的时候，所以可以看出在实数上的最小值应该在处取到，也就是说在实数上每个取值都大于零，因此结论成立。是奇数时，那么由归纳假设，我们知道恒成立，也就是说严格单调递增，而是一个奇数次最高项系数大于零的一个多项式，因此，可以知道当X趋近于的时候，也趋于，当X趋于+的时候，也趋于+，而连续，因此我们证明了在实数上严格单调递增并且可以取遍所有的实数（这点如果不用 极限的符号书写法也可以将分段说明，但写起来比较麻烦）(15) (本小题满分14分)某乒乓球培训班共有位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。解答：假设比赛了K场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以=2k，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中lN，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中lN,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于L使用数学归纳法：（1） 当L=1的时候，N=5，此时假设这5名选手为A,B,C,D,E,那么如下安排比赛即可，AB-CD,AC-BE,BC-DE,AE-BD,AD-CE.（2） 设当L=M的时候结论成立那么，L=M+1的时候，假设4M+5选手为A,B,C,D,E，由归纳假设，可以安排E,之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下A,B,C,D，E,相互的比赛和A,B,C,D与之间的比赛，A,B,C，D与之间的比赛安排如下：A与B,A与B,C与D,C与D,这样即满足要求。最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4M+5位选手之间的的比赛了。由数学归纳法，结论得到了证明，N=4L的候，对L 的使用数学归纳法，与上边几乎类似的也可以证明结论。综上所述，N的所有可能取值是N=4L或者4L+1，其中LN.2011年华约试题一、 选择题(1) 设复数z满足|z|0）,使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。FEPF12aP2cF22x解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P F1 F2中，E为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，F1 F2 = 2c，求。设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 = ， ，。E F1 F2为等腰三角形，于是，。(II)（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。我们先定义几个函数：f(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至少有连续3次相同，总共有f(n)种情况。g(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次连续相同，总共有g(n)种情况。h(n)：将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，至多连续2次相同（可以有不同的连续2次相同），且最后2次不相同，总共有h(n)种情况。显然，下面的等式成立：f(n)+g(n)+h(n)=2nf(n)=2f(n-1)+g(n-1)g(n)=h(n-1)化简得：g(n+1)=g(n)+g(n-1)这个著名数列就不再啰嗦了最后由g(n)求得f(n)当然，最后的结果是f(n)/2,因为连续正与连续负的情况是相等的2010年“华约”数学自主招生试题解析一、选择题1设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）（A） （B） （C） （D）2设向量，满足，则的最小值为（ ）（A）2 （B） （C）1 （D）3。缺4。缺5在中，三边长，满足，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）6如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（ ）（A） （B） （C） （D）7设过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（ ）（A）1 （B） （C） （D）8设双曲线，椭圆若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（ ）（A） （B）2 （C） （D）49欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）910设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的180旋转设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（ ）（A） （B） （C） （D）二、解答题11在中，已知，外接圆半径（）求角的大小；（）求面积的最大值12设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线设到直线，直线的距离分别为，已知（）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若的面积为240，求点的坐标及直线的方程13（）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值14假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由15设函数，且存在函数，满足（）证明：存在函数满足；（）设证明：2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题AD C ABDBD二、解答题11解：（）由得 所以即因为为内角所，（）又由余弦定理得，即又，所以有，当且仅当即为等边三角形时，的面积取得最大值12解：（）设则由可知的斜率因此可以设直线方程为把代入，整理得所以因为都不平行于轴，所以直线斜率之和为可知直线的倾角互补，而平行于轴，所以平分作为垂足则可得由已知，可得，所以所以为直角三角形（）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为把分别代入，得所以由已知可知，所以解得，所以或当取时，求得，又斜率，所以直线方程为,即同理，当取时，直线方程为13解：（）设正四棱锥的底面正方形的边长为，高为则正四棱锥的体积正四棱锥的表面积 从而 令设则令解得当时，当时，当时取得最小值正四棱锥的表面积的最小值为4.（）一般地，设正棱锥的底面正边形的中心到各边的距离为，高为，则正边形的体积正棱锥的表面积由（）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。解：（）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为，的概率如下表：父本、母本的基因型式相应情况出现的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率父母父母父母父母父母父母父母父母父母子一代的基因型式为的概率为 . 由对称性知子一代的基因型式为的概率为 . 子一代的基因型式为的概率为 若记，则， ，子一代三种基因型式：，的比例为. （）由（）可知子二代的基因型式为，的比例为，其中 ，.由，可得，.故子二代三种基因型式，的比例为，与子一代基因型式的比例相同. 15解法一： （）令，代入化简得 由于等式对所有成立，可知解得 令，代入，化简得所以存在使得 （）令注意