专题六二次函数中的探究性问题.doc

专题六二次函数中的探究性问题1. 已知，如图，把抛物线L1：yx2的图象平移得到抛物线L2过原点O和A(4k，0)两点，其中k 0，顶点为C，过点C作直线CD平行于y轴，与抛物线L1交于点D. (1)直接写出平移后抛物线L2的解析式(用含k的代数式表示)；(2)连接AC、OC、AD、OD.判断四边形OCAD的形状，并说明理由；四边形OCAD的形状能否成为正方形， 如果能，求出k的值，如不能，说明理由.(3)若点P为对称轴CD上的点，在抛物线L2上是否存在动点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，如不存在，说明理由.(用含k的代数式表示)【解析】(1)平移后的解析式yx(x4k)；(2)四边形OCAD是菱形.设CD与x轴交于点M，根据对称性可得MOMA，可得顶点C(2k，4k2)，点D的坐标为(2k， 4k2)，可知MDMC，四边形OCAD是平行四边形，又因为CD垂直于OA，所以四边形OCAD是菱形.四边形OCAD的形状可以成为正方形，理由如下：四边形OCAD是菱形，当OACD时，四边形OCAD的形状是正方形，即8k24k，解得k0(不合题意，舍去)，k；(3) 存在点Q的坐标为(6k，12k2)、(2k，12k2)、(2k，4k2).2. 如图1，抛物线ymx211mx24m(m0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧). (1)写出与抛物线有关的三个结论；(2)在OAC中，OAAC，且BAC90，抛物线经过点A，求此时抛物线的解析式；(3)如图2，在(2)的条件下，点M始终位于抛物线上A、C两点之间， 过点M作垂直于x轴的直线l：xn，连接AM、MC，试探究：是否存在实数n，使AMC的面积最大，如存在，求出最大值，如不存在，说明理由.【解析】(1)因为抛物线ymx211mx24m(m0)与x轴交于B、C两点，所以抛物线与x轴的交点坐标为：0mx211mx24m，解得：x13，x28，所以B(3，0)，C(8，0)，开口向下，对称轴是直线x5.5，顶点坐标(5.5，m)；(2)过A作AEOC于点E，因为OAAC，所以 OEEC84，所以BE431，又因为BAC90，所以ACEBAE，所以，所以AE2BECE14，所以AE2，所以点A的坐标为(4，2)，把点A的坐标(4，2)代入抛物线ymx211mx24m，得m，所以抛物线的解析式为yx2x12； (3)存在实数n，使AMC的面积最大，理由如下：因为直线xn与抛物线交于点M，所以点M的坐标为(n，n2n12)，由题意可知： A(4，2)，C(8，0)，由待定系数法可求得直线AC的解析式为yx4，设直线l：xn与CA交于点N，得N(n，n4)，所以MNn2n12(n4)n26n16，所以AMC的面积MN3(n26n16) (n6)23，即当n6时， AMC的面积最大，最大面积是3.3. 如图，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线yx2bxc与直线BC交于点D(3，4). (1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)y2x2，当x0时，y2，B(0，2).当y0时，x1，A(1，0).抛物线yx2bxc过点B(0，2)，D(3，4)，解得yx2x2.设直线BD的解析式为ykxb，由题意，得 解得：直线BD的解析式为：y2x2；(2)存在.如答图1，设M(a，a2a2).MN垂直于x轴，MNa2a2，ONa.y2x2，y0时，x1，C(1，0)，OC1.B(0，2)，OB2.当BOCMNO时， 即，解得：a11， a22(舍去)，M(1，2).如答图2，当BOCONM时，即，a或(舍去)，M(， ).符合条件的点M的坐标为(1，2)，(， ).4. (2016原创)已知，如图，抛物线：y1(x1)21、 y2(x2)22、y3(x3)23、yn(xn)2n(n为正整数)称为“系列抛物线”，分别与x轴交于点O，A、B，C、E，F、. (1)AO2，yn(xn)2n与x轴交点之间的距离是2；(2)是否存在正整数n，使得以yn(xn)2n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，若存在，求出正整数n，若不存在，说明理由；(3)以抛物线yn(xn)2n的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边三角形PMN(M，N两点在该二次函数的图象上)，请问：PMN的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由.【解析】(1)抛物线y1(x1)21与x轴相交，令y0得到两交点的横坐标为0和2，故AO的距离为2，yn(xn)2n与x轴两交点坐标为(n，0)和(n，0)，所以yn(xn)2n与x轴交点之间的距离是2；(2)存在，n3.理由：如答图1，设yn(xn)2n的顶点G(n，n)，抛物线与x轴两交点坐标为F(n，0)和E(n，0)，EF2，过点G作GK垂直x轴于点K，得EK，GKn， 因为yn(xn)2n的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形，所以得n，解得n13，n20(不合题意，舍去)(3)PMN的面积不会随着n的变化而变化.理由如下：如答图2，根据抛物线和等边三角形的对称性，可知MNy轴，设抛物线的对称轴与MN交于点H，则PHHM，设M(m，(mn)2n)，HMnm(mn)，又PHyPyHn(mn)2n(mn)2，(nm)2(nm) ，nm，HM，PH3，SPMNPH2HM323，PMN的面积不会随着n的变化而变化.5.我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.如图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点.(1)如图1，如果抛物线yx2的过顶抛物线为yax2bx，C(2，0).那么：a1，b2；如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为(D)A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形(2)如图2，抛物线yax2c的过顶抛物线为F2，B(2，c1).求四边形ABCD的面积；(3)如果抛物线yx2x的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为2，请直接写出点B的坐标.【解析】(1)由A、C点关于对称轴对称，得对称轴x1.将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得解得当x1时，yx2，D(1，1)，yx22x1，B(1，1)，四边形ABCD的对角线相等，且互相垂直平分，四边形ABCD是正方形；(2)B(2，c1)，AC224.当x0，yc，A(0，c).F1yax2c，B(2，c1).设F2ya(x2)2c1，点A(0，c)在F2上，4ac1c，a.当x2时，yax2c4ac，D(2，4ac)，BD(4ac)(c1)2.S四边形ABCDACBD4；(3) 如答图所示： yx2x