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绝对值不等式的解法 复习 如果a 0 则 x a的解集是 a a 1 含绝对值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x R x 0 R 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c 2 ax b c c ax b c ax b c或ax b c 1 不等式 x 1 2的解集是 解析 由 x 1 2得 2 x 1 2 解得 1 x 3 答案 1 3 2 不等式 4 3x 2的解集是 解析 4 3x 2 3x 4 2 3x 4 2或3x 4 2 解得或x 2 答案 解含绝对值不等式的核心任务解含绝对值不等式的核心任务是 去绝对值 将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式 然后利用已经掌握的解题方法求解 注意不可盲目平方去绝对值符号 类型一简单绝对值不等式的解法1 不等式的解集是 2 不等式的解集为 解析 1 解得2 x 6 答案 2 6 拓展提升 绝对值不等式的常见类型及其解法 1 形如 f x a a R 型不等式 此类不等式的简单解法是等价转化法 即 当a 0时 f x a f x a或f x a f x 0 当aa f x 有意义即可 2 形如 f x g x 型不等式 此类问题的简单解法是利用平方法 即 f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 3 形如 f x g x 型不等式 此类不等式的简单解法是等价转化法 即 f x g x f x g x 或f x g x 其中g x 可正也可负 若此类问题用分类讨论法来解决 就显得较复杂 4 形如aa 0 型不等式 此类问题的简单解法是利用等价转化法 即af x 型不等式 此类问题的简单解法是利用绝对值的定义 即 f x f x f x 0 类型二含多个绝对值不等式的解法 典型例题 1 不等式 x 1 x 2 的解集为 2 不等式 x 1 x 1 3的解集为 变式练习 若将题1中的不等式改为求它的解集 探究提示 1 题1中可采用不等式两边同时平方的方式去掉绝对值符号 2 解决题2的关键是理解绝对值的几何意义 解析 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2所以原不等式的解集为答案 2 方法一 如图 设数轴上与 1 1对应的点分别为A B 那么A B两点间的距离为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在A点左侧有一点A1到A B两点的距离和为3 A1对应数轴上的x 所以 1 x 1 x 3 得同理设B点右侧有一点B1到A B两点的距离和为3 B1对应数轴上的x 所以x 1 x 1 3 所以 从数轴上可看到 点A1 B1之间的点到A B的距离之和都小于3 点A1的左边或点B1的右边的任何点到A B的距离之和都大于3 所以原不等式的解集是 方法二 当x 1时 原不等式可以化为 x 1 x 1 3 解得当 1 x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 即2 3 不成立 无解 当x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 所以综上 可知原不等式的解集为 方法三 将原不等式转化为 x 1 x 1 3 0 构造函数y x 1 x 1 3 即作出函数的图象 如图 函数的零点是 从图象可知当或时 y 0 即 x 1 x 1 3 0 所以原不等式的解集为答案 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现数形结合思想 理解绝对值的几何意义 给绝对值不等式以准确的几何解释 2 以绝对值的零点为分界点 将数轴分为几个区间 利用 零点分段法 求解 体现分类讨论的思想 确定各个绝对值符号内多项式的 性 进而去掉绝对值符号 3 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 正确求出函数的 并画出函数图象 有时需要考查函数的增减性 是关键 正 负 零点 互动探究 若将题1中的不等式改为求它的解集 解析 又2 x 0 所以x 2 所以原不等式的解集为 误区警示 本题易忽视隐含条件2 x 0而致误 拓展提升 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式有三种解法 分区间 分类 讨论法 图象法和几何法 分区间讨论的方法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图象法直观 但只适用于数据较简单的情况 2 分区间 分类 讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解 即也即x R x为非负数时 x 为x x为负数时 x 为 x 即x的相反数 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的图象解法和画出函数f x x a x b c的图象是密切相关的 其图象是折线 正确地画出其图象的关键是写出f x 的分段表达式 不妨设a b 于是这种图象法的关键是合理构造函数 正确画出函数的图象 求出函数的零点 体现了函数与方程结合 数形结合的思想 其他类型的绝对值不等式 典型例题 1 不等式 2x 3 3x 1的解集是 2 设函数f x x 1 x a 如果对任意x R f x 2 则a的取值范围是 3 解不等式 x2 3 2x 解析 1 2x 3 0 原不等式转化为 3x 1 2x 3 3x 1 以上不等式等价于所以原不等式的解集为答案 2 若a 1 则f x 2 x 1 不满足题设条件 若a1 则 f x 的最小值为a 1 综上可知 所求a的取值范围是 1 3 答案 1 3 3 因为 x2 3 2x 所以x 0 所以 x2 3 2x 2x x2 3 2x 解不等式组得 拓展提升 含参数的不等式问题分类及解题策略 1 一类要对参数进行讨论 另一类对参数并没有进行讨论 而是去绝对值时对变量进行讨论 得到两个不等式组 最后把两不等式组的解集合并 即得该不等式的解集 2 解绝对值不等式的基本思想是想方设法去掉绝对值符号 去绝对值符号的常用手段有以下几种 形如 f x g x 或 f x g x 的求解方法 根据实数的绝对值的意义分类讨论 即 根据公式 x 0 f x a x a或xg x f x g x 或f x g x 根据 a 2 a2 a R 若不等式两边非负 可在不等式两边同时平方 如 f x g x f2 x g2 x 规范解答 含参数的绝对值不等式的解法 规范解答 因为a R 故分以下两种情况讨论 1 当a 1 0 即a 1时 原不等式无解 即不等式的解集为 2 当a 1 0 即a 1时 6分原不等式可变为 a 1 1时 原不等式的解集为 当a 1时 原不等式的解集为 12分 防范措施 含参数的绝对值不等式解含参数的绝对值不等式的题型 容易忽略对参数的符号进行讨论 如本例需对a 1的符号进行讨论 否则易导致错误结果 1 解关于x的不等式 x2 a 0时 原不等式等价于 a0时 原不等式的解集为 2 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 则实数a 类题试解 2 若不等式 ax 2 6的解集为 1 2 则实数a 解析 由 ax 2 6得 8 ax 4 当a 0时 因为不等式的解集为 1 2 所以解得两值相矛盾 当a 0时 则解得a 4 综上得 a 4 答案 4 点评