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精品文档Newton插值法求解梁的挠度实例学院：建筑工程学院 学号：2111206052 姓名：王瑞峰一、问题来源求解梁弯曲时的挠度，通常采用积分法和叠加法积分法是利用挠曲线近似微分方程进行积分求解，积分常数可由粱的边界条件或连续光滑条件来确定但当粱所受载荷复杂时，就要分段积分并确定多个积分常数，计算相当繁琐。而叠加法虽然比较简单，但需对梁所受的载荷进行分解，且必须分解成早已知道所产生挠度的单个载荷若载荷作用位置不同，所用公式也不同，无规律可言，具有一定的局限性。所以就需要一种更好普遍实用的方法来求解。二、数学模型实例：图1所示简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，其弯曲刚度为脚，长度为l并等分成四段，试求1、2、3三个等分点处的挠度。三、方法选择牛顿插值法是一种数值计算方法，基本原理是利用牛顿插值方程代替挠曲线近似微分方程，然后用代数的方法求解如果将梁分成较多的区段，则相应地求解较多的插值方程，且精度较高。特别指出：当求解方程较多、运算繁琐时可用计算机解决。下面从图形表示的一般函数y=f(x)入手，推出该方法如图2所示，将x轴进行等分，各等分点从左到右标以号码，其间距a又称为步长。如在等电处，其纵坐标分别为等。现在讨论对应于的A点处函数y的一阶导数因函数y在处的一阶导数与函数在点处的一阶差商相等，即 (a) 其二阶导数即一阶导数的变化率，可代表梁在处的挠度，等于f(x)在点处的二阶差商的2倍，即 (b)结合梁的挠曲线微分方程，我们可以得到梁的牛顿插值方程： (c) 方程中其弯矩M和弯曲刚度EI加上角标i表明这些量为梁在x轴上i点处所求算的量。 要应用该方程求解，需沿梁选择一系列的点写出插值方程，所得的方程组可以求解所选点处的挠度。 四、解答过程及其编程 因为此梁对称，1、3两点处的挠度相等，即y1=y3，所以只有两个值y1和y2为方程中的未知量点1处(i=1)：，弯矩，其牛顿插值方程为： 又因为， 上式简化为： (1)点2处(i=2)：，弯矩，其牛顿插值方程为： 又因为，所以上式简化为： (2) 可以用Matlab分别求得y1，y2 代码如下：A=-2,1;1,-1;b=3/512;1/256;y=inv(A)*b 截图如下： 可得挠度： 0.0098，0.0137五、误差要求 由积分法求得这些挠度的精确结果为： 比较两种结果： 点1处： 点2处： 点3处与点1处相同。 经比较可看出：误差仅为5%左右，这对于沿梁只采用四个间隔段是合理的精确度。若将梁分成较多的等分求解，其精确度可大大提高。六、实际意义分析 通过上述对静定梁挠度的求解，可以看出(c)式为有规律方程，即时数目再多，其未知量也能方便地通过计算机解出，且对梁的间隔段等分的越多越细，其精确度就会
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