高中数学简化运算的小技巧(高手总结来的)

高中数学简化运算的小技巧 高中的题型中 思维难度最大的是数列和不等式 其次是函数 函数比较活 要靠平时 积累 然而会做高难度题型显然是不够的 很多人栽在时间不够和计算失误上 在高考有限 的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一 下面推荐几个方法 可 以减少不少运算 而且能有效提高计算准确率 假如能在高考中节约 10 分钟 那都是异常宝贵的 更不用说提高计算准确率了 注意 下面这些方法是高中没有讲的 在做题时一定注明用到的定理方法名称 否则遇到钻 牛角尖的改卷老师 只能白吃亏 一 立体几何 强烈建议学会这个方法 其他的如果觉得理解困难可以不掌握 行列式简化运算 大概减少 5 分钟运算 在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁 二阶行列式 11 12 21 22 11 22 21 12 即对角线乘积之差 三阶行列式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 可以按照某一行或者某一列展开 习惯按照行展开 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 23 32 33 12 21 23 31 33 13 21 32 31 33 即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式 注意第二个展开式前面是负 号 这里是最容易错的 立体几何里要用到向量乘法扩展 1 求平面法向量 做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系 然而有点难度的题都会考法向量的 应用 平常解方程组的方法求法向量非常麻烦 还要讨论方向 但用这个方法非常简便 能 节省不少时间 大一开始就要学这个 其实高中就应该学 这是行列式最有用最简洁的地方 设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值 比较麻烦而且容易出错 下面的方法简单且容易记忆 设 是 1 1 1 2 2 2 所成的平面的法向量 则 是坐标轴单位向量 1 1 1 2 2 2 按第一行展开 就求得 的向量表达式 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 当然 还可以写成更简单的坐标形式 求出的法向量最好把长度提出来写成单位向量乘以长度 即 的形式 计算时直接算单位向量 要方便得多 因为某向量 在单位向量 的方向的投影就是 步骤 行列式 行列式展开式 坐标式 顺便说一下 显然 若 则 共线 等效 的大小等于 所成平行四边形的面积 这个就是向量积 也叫外积 向量积 是一个向量 而且垂直于 物理上的 洛伦兹力表达式就是这个关系 最后关于法向量 的方向 右手定则 右手定则 右手除了大拇指的其余四指 指头所指的方向从向量 的方向弯向向量 的方向 弯过的角度小于 180 度 大拇指所在方向就是 的方向 有时候二面角不容易判断是钝角还是锐角 要确定法向量的具体方向 在平面的哪一侧 可见使用向量外积可以直接确定法向量的精确坐标 而设方程还要进行方向的讨论 非常麻 烦 2 求平行六面体体积 假设 1 1 1 2 2 2 3 3 3 求 组成的平行六面体体积 1 1 1 2 2 2 3 3 3 行列式再加绝对值 混合积 它的大小等于 组成的平行六面体体积 高中生完全可以推出这 个结论 解题时写到混合积 3 求三角形面积 设 1 1 1 2 2 2 求 所成三角形面积 因为 1 2 1 2 所以按照上面的 先求出 再算 的大小 最后除以 2 上面解题时写到向量积 如果是二维 平面 坐标就更加简单了 已知 1 1 2 2 可看作三维坐标下 0 0 0 1 即三角形面积数值上等于高为 1 的平行六面体体积的 1 2 即 1 10 2 20 001 1 1 2 2 1 2 1 2 若已知三角形三个顶点坐标 写出 2 个向量 按照这种方法很快就能求解 避免了大量的运 算 这个可转化为求三棱柱体积 三棱锥体积 四棱锥体积 三棱柱体积等于平行六面体体积的 1 2 三棱锥体积等于平行六面体体积的 1 6 棱锥体积等于相应棱柱体积的 1 3 四棱锥体积等于平行六面体体积的 1 3 二 解析几何 解析几何的思维难度不大 重点是简化运算 下面给出几个经验公式 能大概简化 3 到 5 分 钟运算 高中解析几何一般就涉及直线与圆锥曲线相交问题 1 抛物线切线 若抛物线是 2 则求导求切线更容易 2 关于何时消 一般来说消 就行了 以下几种情况会事半功倍 1 双曲线 抛物线口朝哪根轴就消那个 这样可以避免直线垂直曲线对称轴时的讨论 例 抛物线为 2 2 直线设 最佳 不平行 轴 2 直线交坐标轴于 与圆锥曲线交于 1 1 2 2 分 的比为 若 在 轴上则消 若 在 轴上则消 因为这样 比如 若 在 轴上 1 2 简化运算 3 直线与圆锥曲线交线长度 设直线 与圆锥曲线 2 2 0 消去 后得到 2 0 一般我们常常会用到 1 2 2 如果按照韦达定理带入表达式计算 那样容易出错 其实很容易证明 1 2 2 2 4 0 比如 交线长度的经验公式 1 2 2 1 2 2 1 2 2 4 0 消去 后得到 2 0 1 1 2 2 4 0 由于是个经验公式 前面最好写上 1 2 2 1 2 2 直线设成 时同理 注意此时斜率为 1 4 几何性质简化运算或提供思考方向 圆锥曲线的几何性质 第一定义 三角形的中位线性质 不一一举例 我就说一些不常见的 有点难的 关于几个初中定理的反推 这几个定理本来就是充分必要 条件 只是在初中只讲充分条件的部分 主要用于提供思考方向 一般对很难的问题来说可 能有些帮助 1 初中的切割线定理 反之若那种情形的比值条件成立 则相应的直线与圆相切 2 初中的圆周角相等定理 反之 即三点 2 定点 1 动点 若动点与而定点所成的角为定 值 则这三点在一个圆上 即动点的轨迹是个圆 三 求极限 0 0 和 型 求极限的简便方法 我推荐大家最好掌握 万一遇到抽筋的极限可以轻松解决 在一般的不定型极限里也是事半功倍 是 0 0 和 型 只有这 2 种时才能用 注意 后者无穷时前者也无穷 后者摆动时前者可能还存在极限 例 1 2 1 有极限 求这个极限 一般的做法要求出 而这个做法就可以绕过它 上下分别求导得 1 2 1 1 2 2 当然这是小儿科级别 对于一般难求的极限 这个法则的作用就大了 求导一般来说可以降 次 从而有效简化运算 注意 解大题时写上由洛必达法则 四 求导 求导有比较多的简化方法 其中只说隐函数求导法则 一个函数 例如抛物线 2 2 0 也可以写成 2 前者就是隐函数 后者就是显函数 是一个关于 的函数 由复合函数求导法则知 所以对 求导 两边求导 2 2 代入 2 即得 2 如果对于关系复杂的显函数求导 比如 1 2 3 求导比较痛苦 然而如果我们用隐函数求导法则 两边取对数 1 2 1 2 3 两边求导 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 3 代入 1 2 3 1 2 1