数学文科（全国II卷）答案解析2009.doc

2009年普通高等学校夏季招生考试数学文史类（全国卷）一、解答题 ( 本大题 共 3 题, 共计 36 分)1、(12分) 分析：本小题考查相互独立事件的概率的求法.解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人.(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则.(3)Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人 ,i=0,1,2.Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2.B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人.Ai与Bi独立,i,j=0,1,2,且B=A0B2+A1B1+A2B0.故P(B)=P(A0B2+A1B1+A2B0)=P(A0)P(B2)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B0)=.2、(12分) 分析：本小题考查导数与函数单调性的关系及恒成立问题. 解：(1)f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).由a1知,当x2时,f(x)0,故在区间(-,2)上是增函数;当2x2a时,f(x)0,故在区间(2,2a)上是减函数;当x2a时,f(x)0,故在区间(2a,+)上是增函数.综上,当a1时,在区间(-,2)和(2a,+)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)由(1)知,当x0时,在x=2a或x=0处取得最小值.=.f(0)=24a.由假设知即解得1a6.故a的取值范围是(1,6). 3、(12分) 分析:本小题考查直线与椭圆的位置关系及存在性问题.解：(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0,O到l的距离为.故,c=1.由,得,.(2)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时,成立.由(1)知C的方程为2x2+3y2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2).()当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=k(x-1).C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为（x1+x2,y1+y2）,且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6.又A、B在C上,即2x12+3y12=6,2x22+3y22=6.故2x1x2+3y1y2+3=0, 将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0.于是,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=.代入解得,k2=2,此时.于是y1+y2=k(x1+x2-2)=,即P().因此,当时,P(),l的方程为;当时,P(),l的方程为.()当l垂直于x轴时,由知,C上不存在点P使成立.综上,C上存在点P()使成立,此时l的方程为.二、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) C解析：MN=1,3,5,6,7,(MN)=2,4,8.2、(5分) B解析：由(x0)x=-y2(y0).f-1(x)=-x2(x0).3、(5分) A解析：,故图象关于原点对称.4、(5分) D解析：,A,且.由1+tan2A=sec2A=.5、(5分) C解析：设AB=1,则AA1=2,如图,EBA1即为异面直线BE与CD1所成的角.在A1BE中,A1E=1.由余弦定理可得,cosA1BE=.6、(5分) C 解析：|a+b|=,|a+b|2=a2+2ab+b2=5+210+b2=()2|b|=5. 7、(5分) B解析：0lge1,即0a1,b=(lge)2lge=a.又,a=lge,即ac.又c-b=-(lge)2=lge()lge()=0,即cb.综上,acb.8、(5分) A解析：双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2相切,由点到直线的距离,得.故选A.9、(5分) D解析：由题意知，即.,得,则min=(0).10、(5分) C解析：由题意,得.11、(5分) D解析：如图:由图可知,BB=BF,AA=AF,又|AF|=2|BF|.,即B是AC中点.与联立可得A（4，）,B(1,).,选D.12、(5分) B解析：将平面图形还原成立体图,可得答案B.三、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) 3解析:S6=4S3.a4=a1q3=13=3.2、(5分) 6解析:通项Tr+1=.令,x3y3的系数为.3、(5分) 解析:A(1,2)在圆x2+y2=5上,过A 点与O相切的直线方程为x+2y=5,与坐标轴交点为(0,),(5,0).4、(5分) 8解析：如图，设球半径为R，圆C的半径为r,则.由截面圆性质可得R2=OC2+r2,OM2=2OC2.S球=4R2=8.四、解答题 ( 本大题 共 3 题, 共计 34 分)1、(10分) 分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设an的公差为d,则即解得或因此,Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).2、(12分) 分析：本小题考查和与差的余弦公式及三角形中的正弦定理.解：由cos(A-C)+cosB=及B=-(A+C)得cos(A-C)-cos(A+C)=.cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=,.又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,故,或(舍去)，于是,或.又由b2=ac知ba或bc,所以.3、(12分) 分析：本小题考查空间中的线面关系及二面角与线面角的基本求法.解法一：(1)取BC中点F,连结EF,则EF.从而EFDA.连结AF,则ADEF为平行四边形,从而AFDE.又DE平面BCC1,故AF平面BCC1.从而AFBC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC.(2)作AGBD,垂足为G,连接CG.由三垂线定理知CGBD,故AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知,AGC=60.设AC=2,则,又AB=2,故.由ABAD=AGBD得,解得，故AD=AF,又ADAF,所以四边形ADEF为正方形.因为BCAF,BCAD,AFAD=A,故BC平面DEF,因此平面BCD平面DEF.连接AE、DF,设AEDF=H,则EHDF,EH平面BCD.连接CH,则ECH为B1C与平面BCD所成的角.因ADEF为正方形,故EH=1,又.所以ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30.解法二:(1)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则B1(1,0,2c),E(,c).于是=(,0),=(-1,b,0).由DE平面BCC1知DEBC,=0,求得b=1,所以AB=AC.(2)设平面BCD的法向量=(x,y,z),则=0