抛物线及其标准方程(李用).ppt

2 4 1抛物线及其标准方程 小结 抛物线的生活实例 喷泉 灯 卫星接收天线 抛物线的生活实例 抛球运动 复习回顾 我们知道 椭圆 双曲线的有共同的几何特征 都可以看作是 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 其中定点不在定直线上 那么 当e 1时 它又是什么曲线 问题探究 当e 1时 即 MF MH 点M的轨迹是什么 探究 几何画板观察 可以发现 点M随着H运动的过程中 始终有 MF MH 即点M与点F和定直线l的距离相等 点M生成的轨迹是曲线C的形状 如图 我们把这样的一条曲线叫做抛物线 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点F叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 MF d d为M到l的距离 准线 焦点 d 一 抛物线的定义 二 标准方程的推导 如何建立坐标系呢 思考 抛物线是轴对称图形吗 1 建立坐标系 2 设动点坐标 相关点的坐标 3 列方程 4 化简 整理 l 解 以过F且垂直于l的直线为x轴 垂足为K 以F K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy 两边平方 整理得 M x y F 二 标准方程的推导 依题意得 5 证明 略 这就是所求的轨迹方程 三 标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 且p的几何意义是 焦点到准线的距离 焦点坐标是 准线方程为 想一想 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 想一想 这种坐标系下的抛物线方程形式怎样 四种标准方程 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程有四种形式 三 抛物线的标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 抛物线的四种标准方程对比 2 如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向 焦点在一次项字母对应的坐标轴上 一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向 1 抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点 左边都是平方项 右边都是一次项 应用 类题一 由方程求有关量 感悟 求抛物线的焦点坐标和准线方程要注意两点 1 先化为标准方程2 判断焦点的位置 即 准确 定型 练习 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 1 焦点为F 2 0 则抛物线的标准方程为 2 准线方程是y 2 则抛物线的标准方程为 3 焦点到准线的距离是4 则抛物线的标准方程为 y2 8x x2 8y y2 8x x2 8y 1 2 应用 类题二 由有关量求标准方程 感悟 1 定型 定量 2 如果焦点位置或者开口方向不定则要注意分类讨论 4 标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向 1 抛物线的定义 2 抛物线的标准方程有四种不同的形式 每一对焦点和准线对应一种形式 3 p的几何意义是 焦点到准线的距离 P66例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的方程是y 6x2 求它的焦点坐标和准线方程 3 已知抛物线的焦点坐标是F 0 2 求它的标准方程 112 P67练习1 1 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x y2 4x x2 4y或x2 4y P67课堂练习 2 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 思考 M是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点M的横坐标为x0 则点M到焦点的距离是 这就是抛物线的焦半径公式 3 1 抛物线y2 2px p 0 上一点M到焦点的距离是a 则点M到准线的距离是 点M的横坐标为 P67练习3 1 a 3 2 抛物线y2 12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为 P67练习3 2 3 3 2 若抛物线y2 8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离 则点M的坐标是 变式练习 已知抛物线的焦点在x轴上 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的标准方程 数形结合 用定义转化条件 5 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 感悟 1 待定系数法2 数形结合3 分类讨论 应用 类题二 由有关量求标准方程 4 求焦点在直线3x 4y 12 0上的抛物线的标准方程 应用 类题二 由有关量求标准方程 标准方程对应的抛物线焦点在坐标轴上 分析 例2点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 解 如图 设点M的坐标为 x y 依题意可知点M与点F的距离等于它到直线x 4 0的距离 根据抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点的抛物线 焦点在x轴的正半轴上 点M的轨迹方程为 y2 16x l x O y F 题型一利用抛物线的定义求方程例1 若动圆M与圆C x 2 2 y2 1外切 又与直线x 1 0相切 则动圆圆心的轨迹方程是 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 答案 A 解析 如图所示 设动圆圆心为M x y 半径为R 由题设可知定圆圆心为C 2 0 半径r 1 两圆外切 MC R 1 又动圆M与已知直线x 1 0相切 圆心M到直线x 1 0的距离d R MC d 1 即动点M到定点C 2 0 的距离等于它到定直线x 2 0的距离 由抛物线的定义可知点M的轨迹为以C为焦点 x 2 0为准线的抛物线 其方程为y2 8x 故正确答案为A 变式训练1 动点P到点 3 0 的距离比它到直线x 2的距离大1 则动点P的轨迹是 A 椭圆B 双曲线C 双曲线一支D 抛物线解析 将直线x 2向左平移一个单位 由已知可得动点P到点 3 0 的距离等于到直线x 3的距离 答案 D 2 抛物线y2 8x的准线方程是 A x 2B x 4C y 2D y 4答案 A 解析 y2 8x 2 4x p 4 准线方程为 答案 B 解析 x2 ay的准线方程为 a 8 答案 C 答案 B 6 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线关于x轴对称 顶点在原点 且过点P 2 4 则该抛物线的方程为 y2 8x 解析 设抛物线方程为y2 ax 又抛物线过点P 2 4 则16 2a a 8 y2 8x 7 2008上海 6 若直线ax y 1 0经过抛物线y2 4x的焦点 则实数a 1 解析 由y2 4x得焦点F 1 0 代入直线方程得a 1 0 a 1 11 2010 福建卷 以抛物线y2 4x的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为 A x2 y2 2x 0B x2 y2 x 0C x2 y2 x 0D x2 y2 2x 0 解析 抛物线y2 4x的焦点坐标为 1 0 圆心坐标为 1 0 半径r 1 圆的方程为 x 1 2 y2 1 即x2 y2 2x 0 答案 D 题型二求抛物线的标准方程例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 分析 首先需确定使用哪种标准方程形式 若无法确定 则应讨论 然后由条件求p的值 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 2 令x 0 由方程x 2y 4 0得y 2 当抛物线的焦点为F 0 2 时 设抛物线方程为x2 2py p 0 则由 2得p 4 所求抛物线方程为x2 8y 令y 0 由方程x 2y 4 0得x 4 当抛物线的焦点为F 4 0 时 设抛物线方程为y2 2px p 0 则由 4得p 8 所求抛物线方程为y2 16x 综上 所求抛物线方程为x2 8y或y2 16x 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 2 焦点在直线x 2y 4 0上 3 焦点到准线的距离为 p 所求抛物线方程为 y2 5x或y2 5x或x2 5y或x2 5y 规律技巧 1 抛物线的标准方程有四种形状 主要看其焦点的位置和开口方向 2 不知道焦点的具体位置时 标准方程有两种一般形式 y2 mx m 0 或x2 ny n 0 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 3 顶点在原点 以坐标轴为对称轴 焦点到准线的距离为 变式训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解 1 点 3 4 在第四象限 设抛物线标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 的坐标分别代入y2 2px和x2 2p1y 得 4 2 2p 53 32 2p1 5 4 2 令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 故所求的抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 变式训练2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 2 焦点在直线x 3y 15 0上 1 到定点 3 5 与定直线2x 3y 21 0的距离相等的点的轨迹是 A 圆B 抛物线C 线段D 直线 解析 因为定点 3 5 在直线上 所以点的轨迹是直线 答案 D 方法 利用平移 3 动点P到点A 0 2 的距离比到直线l y 4的距离小2 则动点P的轨迹方程为 x2 8y 1 抓住标准方程的特点 注意与焦点位置 开口方向的对应关系 2 抛物线的定义反映了抛物线的本质 灵活应用定义往往可以化繁为简 化难为易 且思路清晰 解法简捷 巧妙解法常常来源于对定义的恰当运用 题型三与抛物线有关的最值问题例3 已知抛物线x2 4y 点P是抛物线上的动点 点A的坐标为 12 6 求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值 提示 利用准线 分析 由定义知 抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d 求 PA 与点P到x轴的距离之和的最小值 转化成求 PA d 的最小值 解 如下图 易判断知点A在抛物线外侧 设P x y 则P到x轴的距离即y值 设P到准线y 1的距离为d 则y d 1 故 PA y PA d 1 由抛物线定义知 PF d 于是 PA d 1 PA PF 1 由图可知 当A P F三点共线时 PA PF 取最小值为13 故所求距离之和的最小值为 FA 1 12 规律技巧 定义是解决问题的基础和灵魂 要善于思考定义和应用定义 本题如果设P点坐标为 x y 利用两点间距离公式求解 无法得到答案 由抛物线定义可知 PF 等于P点到准线的距离 当P A F三点共线时 PA PF 的距离最小 这体现了数学中的转化思想 变式训练3 2008 辽宁高考 已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点 则点P到点 0 2 的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 解析 由抛物线的定义可知 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离 由图可知 P点 0 2 点和抛物线的焦点 0 5 0 三点共线时距离之和最小 答案 A 1 已知定点A 3 2 和抛物线y2 2x F是抛物线焦点 试在抛物线上求一点P 使PA与PF的距离之和最小 并求出这个最小值 提示 利用点到直线距离定义及二次函数最值 提示 利用准线 题型四抛物线的应用 例4 一辆卡车高3m 宽1 6m 欲通过断面为抛物线形的隧道 如下图所示 已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍 若拱宽为am 求能使卡车通过的a的最小整数值 分析 要求拱宽a的最小值 需建立适当的坐标系 写出抛物线方程 然后利用方程求解 规律技巧 这是抛物线的应用问题 解题时 可画出示意图 帮助理解题意 转化为数学问题 作出解答 变式训练4 某河上有座抛物线形拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽8m 一木船宽4m 高2m 载货后木船露在水面上的部分高为 m 问水面上涨到与拱顶相距多少时 木船开始不能通航 答 水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时 船开始不能通航 8 2009 海南 宁夏卷 已知抛物线C的顶点为坐标原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若P 2 2 为AB的中点 则抛物线C的方程为 y2 4x 解析 设抛物线方程为y2 ax a 0 由方程组得交点坐标为A 0 0 B a a 而点P 2 2 为AB的中点 从而a 4 故所求抛物线方程为y