函数知识导学.docx

函数知识导学 1坐标系（1）象限的划分 横、纵坐标把坐标平面划分为四个象限设点P（x，y）在坐标平面内，则 点P在第一象限x0，y0； 点P在第二象限x0，y0； 点P在第三象限x0，y0； 点P在第四象限x0，y0； 点P在x轴上y0； 点P在y轴上x0； 点P在坐标原点x0，y0 注意：横轴、纵轴（包括坐标原点）不属于任何象限 （2）求点的坐标；由点的坐标描点 设P为坐标平面内一点，由点P向两坐标轴引垂线，x轴上垂足所对应的实数a和y轴上垂足所对应的实数b，分别为点P的横坐标和纵坐标，记作P（a，b）；如果已知点P的坐标为（a，b），需在坐标平面内描出点P，则可逆向操作 （3）点P（x，y）的坐标的几何意义点P（x，y）到x轴的距离是；点P（x，y）到y轴的距离是；点P（x，y）到原点的距离是 注意：如果已知点P到两坐标轴的距离，还需根据点P在坐标平面内的相对位置，才能确定其坐标的符号 （4）求对称点的坐标 点P（x，y）关于x轴的对称点是（x，y）； 点P（x，y）关于y轴的对称点是（x，y）； 点P（x，y）关于原点的对称点是（x，y）（5）要清楚坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系2变量与函数（1）常量和变量有时是相对的 在不同的研究过程中，作为常量和变量的角色是可以相互转换的例如：在研究行程问题时，当路程s是定值时，行走的时间t随速度v的变化而变化，则在这个过程中，s是常量，v与t是变量同样，如果t是常量，则v与s是变量；如果v是常量，则t与s是变量 （2）函数的概念揭示了在某一变化过程中的两个变量x，y之间的对应关系，即对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，这时y才是x的函数，x是自变量例如y=是函数，而y=就不是函数 （3）确定函数自变量的取值范围，要遵循两个有意义原则： 用解析式给出的函数，要遵循含自变量的代数式本身有意义的原则； 以实际问题为背景的函数，要遵循函数能保证实际问题有意义的原则 （4）表示函数通常有三种方法： 解析法；列表法；图象法 这三种方法各有所长，解析法简明准确；列表法一目了然；图象法形象直观（5）画函数图象一般有三个步骤：列表；描点；连线 （6）函数解析式与该函数图象之间存在着一一对应的关系事实上，坐标满足函数解析式的所有点的集合，构成这个函数的图象这句话包含两层意思：坐标满足解析式的点，都在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点，坐标都满足这个函数的解析式3正比例函数、一次函数、反比例函数 （1）函数解析式 正比例函数：ykx（k0）； 一次函数：ykxb（k0）； 反比例函数：y（k0） 注意：一次函数包含正比例函数，正比例函数是一次函数的特例（即b0时） （2）函数的图象 一次函数的图象是一条直线，其中： ykx的图象经过（0，0），（1，k）两点；的图象经过（，0），（0，b）两点 反比例函数的图象是双曲线 注意：对于函数ykx（k0）与函数ykxb（k0，b0），如果两式中的k取相同实数，那么它们的图象是平行关系例如y2x与y2x1这两个函数，在画y 2x1的图象时，相当于把y2x的图象（整体）向上平移1个单位事实上，把直线ykx向上（b0）或向下（b0）平移个单位，就会得到直线ykxb k与b的符号将直接决定直线ykxb在平面直角坐标系中的相对位置事实上： （）k0，b0直线经过第一、二、三象限（如图（a）； （）k0，b0直线经过第一、三、四象限（如图（b）； （）k0，b0直线经过第一、二、四象限（如图（c）； （）k0，b0直线经过第二、三、四象限（如图（d） （3）函数的性质一次函数（包括正比例函数）ykxb的性质： 当k0时，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而减小 反比例函数y的性质： 当k0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小（如图（a）；当k0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大（如图（b） 注意：我们已经知道函数解析式与其图象是一一对应的关系，所以函数图象能形象直观地反映函数的性质利用图象去研究函数的性质，是一个很好的数形结合例证； 描述反比例函数的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则会出现错误（读者可自己领悟） （4）函数解析式的求法一般采用待定系数法，实际问题中也可以由题意直接列出来4二次函数 （1）解析式有三种形式其内在关系如下：其中式为一般式；式中令，有即为顶点式，其中点（h，k）为抛物线顶点；式中令，有即为交点式，其中，为抛物线与x轴两个交点的横坐标 注意：求二次函数解析式时，要根据条件灵活选设一种解析式 （2）二次函数的图象是抛物线 注意：a，b，c在图象中都起一定作用，其中： a决定抛物线开口方向及开口大小； b和a共同决定抛物线顶点的左、右位置（对称轴位置），即顶点横坐标为（对称轴为直线）； c与a，b共同决定抛物线顶点的上下位置，即顶点纵坐标为，同时c还决定抛物线与y轴交点的位置，即交点为（0，c） （3）任意抛物线都可以由抛物线经过适当平移得到 注意：左、右平移看h，h0时向左平移-h个单位；h0时向右平移h个单位； 上、下平移看k，k0时向下平移-k个单位；k0时向上平移k个单位 （4）二次函数的性质 当 a0（a0）时，抛物线的开口向上（下），并向上（下）无限延伸；在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小（增大）；在对称轴的右侧，即当x时，y随x的增大而增大（减小）；抛物线有最低（高）点，当x=时，y有最小（大）值