函数模型的应用实例

新课导入 知识回顾 前面学习了一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数 且它们与生活有着密切的联系 有着广泛的应用 2 二次函数的解析式为 其图像是一条 线 当 时 函数有最小值为 当 时 函数有最大值为 1 一次函数的解析式为 其图像是一条 线 当 时 一次函数在 上为增函数 当 时 一次函数在 上为减函数 直 抛物 二次函数为生活中最常见的一种数学模型 因二次函数可求其最大值 最小值 故常常最优 最省等最值问题是二次函数的模型 3 指数函数的关系式为 当a 时 它在R上是增函数 当a 时 它在R上是减函数 它的定义域为 值域为 1 0 1 R 0 下面来看几个实例 3 2 2函数模型的应用举例 学习目标 能够找出简单实际问题中的函数关系式 初步体会应用一次函数 二次函数模型等解决实际题 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题 知识与能力 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值 情感态度与价值观 感受运用函数概念建立模型的过程和方法 体会一次函数 二次函数模型在数学和其他学科中的重要性 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法 对给定的函数模型进行简单的分析评价 过程与方法 教学重难点 重点 难点 运用一次函数 二次函数模型等处理实际问题 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题 将实际问题转化为数学模型 并对给定的函数模型进行简单的分析评价 例某农家旅游公司有客房300间 每间日房租为20元 每天都客满 公司欲提高档次 并提高租金 如果每间客房每日增加2元 客房出租数就会减少10间 若不考虑其他因素 旅社将房间租金提高到多少时 每天客房的租金总收入最高 思考 本例涉及到哪些数量关系 应用如何选取变量 其取值范围又如何 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系 总收入最高 的数学含义如何理解 例一辆汽车在某段路程中的行驶速率与是时间的关如图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆车汽车的历程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km 试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式 并作出相应的图像 解 1 阴影部分的面积为50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km 能根据此图画出汽车行驶路程关于时间变化的图像吗 2 根据上面的图 有 函数图像为 x 1 3 4 5 2 注意这是分段函数 分段函数是刻画现实问题的重要模型 例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 可以为有效控制人口增长提供依据 早在1798年 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型 其中t表示经过的时间 表示t 0时的人口数 r表示人口的年平均增长率 下面表1是1950 1959年我国的人口数据资料 1 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 并检验所得模型与实际人口数据是否相符 2 如果按表中数据的增长趋势 大约在哪一年我国的人口达到13亿 分析 每年的增长率是多少 这几年的平均增长率是多少 马尔萨斯的人口增模型 如何检测此模型与实际人口数据相符 哪一年我国人口达到13亿 马尔萨斯人口增长模型 如何检测此模型与实际人口数据相符 由图我们看出所得的模型与1950 1959年实际人口数据基本吻合 所以 按照表1的增长趋势 那么大约在1950年后的第39年 即1989年 我国的人口就达到13亿 由此看到 如果不实行计划生育 而是让人口自然生长 今天中国将面临难以承受的人口压力 实际问题 数学模型 实际问题的解 抽象概括 数学模型的解 还原说明 推理演算 建立函数模型的全过程 思考 对于模型的结果与实际存在的情况有什么看法吗 注意在用已知的函数模型刻画实际问题时候 由于实际问题的条件与已知模型的条件不同 所以往往需要对模型进行修正 面对实际问题我们怎么样才能解决它呢 我们能不能通过自己建立函数模型来解决实际问题呢 例某家电企业根据市场调查分析 决定调整产品生产方案 准备每周 按120个工时计算 生产空凋 彩电 冰箱共360台 且冰箱至少生产60台 已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 问每周应生产空调 彩电 冰箱各多少台 才能使周产值最高 最高产值是多少 以千元为单位 例某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表2 1 根据表中提供的数据 能否建立恰当的函数模型 使它能比较近视地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系 试写出这个函数模型的解析式 2 若体重超过相同身高男性体重平均的1 2倍为偏胖 低于0 8倍偏瘦 那么这个地区一名身高为175cm 体重为78kg的在校男生的体重是否正常 分析 由图表2的数据不能看出身高与体重的关系 可以画出散点图 解 1 以身高为横坐标 体重为纵坐标 画出散点图 选取数据 60 13 70 90 代入得到 可得到a 1 338 b 1 026 函数模型y 1 338 1 026x由函数图像与散点图比较 发现散点图上的好多点都偏离函数图像 所以此函数不能较好地刻画出该地区未成年人体重与身高的关系 选取 70 90 160 47 25 算出a 2 b 1 02 函数模型 由此发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好 这说明它能较好的反应这个地区未成年男性体重与身高的关系 2 将x 175代入得y 63 98 由于78 63 98 1 22 1 2 所以这个男生偏胖 1 收集数据 2 作出散点图 3 通过观察图象判断问题所适用的函数模型 4 用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式 5 用得到的函数模型解决相应的问题 函数应用的基本过程 收集数据 画散点图 验证 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解决实际问题 不好 好 待定系数法 课堂小结 实际问题 数学模型 实际问题的解 抽象概括 数学模型的解 还原说明 推理演算 建立函数模型的全过程 收集数据 画散点图 验证 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解决实际问题 不好 好 待定系数法 注意在用已知的函数模型刻画实际问题时候 由于实际问题的条件与已知模型的条件不同 所以往往需要对模型进行修正 高考链接 1 2007江西 四位好朋友在一次聚会上 他们按照各自的爱好选择了形状不同 内空高度相等 杯口半径相等的圆口酒杯 如图所示 盛满酒后他们约定 先各自饮杯中酒的一半 设剩余酒的高度从左到右依次为h1 h2 h3 h4 则它们的大小关系正确的是 2 2007广东 客车从甲地以60km h的速度匀速行驶1小时到达乙地 在乙地停留了半小时 然后以80km h的速度匀速行驶1小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过乙地 然后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的图像中 正确的是 解析 解决本题的关键是分析路程s与时间t之间关系的图象中所过的特殊点 由题可知 路程s与时间t之间关系的图象过点 1 60 1 5 60 2 5 140 只有B项符合条件 故选B 1 一家旅社有100间相同的客房 经过一段时间的经营实践 旅社经理发现 每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系 要使每天收入达到最高 每间定价应为 A 20元B 18元C 16元D 14元 C 课堂练习 2 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时 能卖出400个 已知这种商品每个涨价1元 其销售量就减少20个 为了取得最大利润 每个售价应定为 A 95元B 100元C 105元D 110元 A 3 要建一个容积为8m3 深为2m的长方体无盖水池 如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元 试求应当怎样设计 才能使水池总造价最低 并求此最低造价 解 设池底宽为xm 则池底长4 xm 令水池总造价为w元 则W 480 2x 80 2 4 x 2 80 2 480 320 x 1280 x 480 320 x 4 x 又因为x 4 x 4 所以w在 x 4 x 4时取得最小值即在x 2时w取得最小值 也就是池底宽与长都为2m时 造价最低为17