武彩萍模糊数学建模讲义 2015.ppt

模糊数学建模 太原理工大学数学学院 武彩萍 目录 模糊数学基本概念 序言 模糊数学应用 序言 模糊数学是研究什么的 模糊现象 亦此亦彼 的不分明现象 模糊数学 研究和揭示模糊现象的定量处理方法 现象的划分 确定性现象 如水加温到100oC就沸腾 这种现象的规律性靠经典数学去刻画 随机现象 如掷筛子 观看那一面向上 这种现象的规律性靠概率统计去刻画 模糊现象 如 今天天气很热 小伙子很帅 等等 此话准确吗 有多大的水分 靠模糊数学去刻画 确定性数学模型 它的背景对象具有确定性或固定性 对象间具有必然的关系 随机性数学模型 它的背景对象具有偶然性或随机性 模糊性数学模型 它的背景对象及其关系均具有模糊性 模糊性的数学模型所描述的事物本身的含义是不确定的 数学模型 众所周知 经典数学是以精确性为特征的 然而 与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的 没有价值的 甚至可以这样说 有时模糊性比精确性还要好 例如 你要到某时某地去迎接一个 大胡子 高个子 长头发 戴宽边黑色眼镜的中年男人 尽管这里只提供了一个精确信息 男人 而其他信息 大胡子 高个子 长头发 宽边黑色眼镜 中年等都是模糊概念 但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断 就可以接到这个人 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象 秃子悖论 天下所有的人均为秃子 设头发根数n n 1显然 若n k为秃子 n k 1亦为秃子 模糊概念 从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线 1965年 L A Zadeh 扎德 发表文章 模糊集 FuzzySets InformationandControl 8 338 353 用属于程度代替属于或不属于 模糊数学可以对不精确数据以及语言进行构模 近似为3 大约在7 8之间 很高 略微有点等 基本思想与作用 模糊数学基本概念 则称A是X上的模糊集 A x 称为x属于A的隶属度 模糊集是什么 设X是论域 全体X上模糊集记为F X 它表示x对A的隶属程度 例1 例2设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 cm 表示人的身高 那么U上的一个模糊集 高个子 A 的隶属函数A x 可定义为 也可用Zadeh表示法 模糊集的运算 并 交 余 例3 隶属函数的确定 模糊统计方法 与概率统计类似 但有区别 若把概率统计比喻为 变动的点 是否落在 不动的圈 内 则把模糊统计比喻为 变动的圈 是否盖住 不动的点 指派方法 一种主观方法 一般给出隶属函数的解析表达式 借用已有的 客观 尺度 模糊关系 在日常生活中 关系 的概念随处可见 如父子关系 同事关系 身高与体重之间的关系 两个人的想像关系等 在数学上 有大于 包含 近似相等 远远大于等 在各种各样的关系中 有些是明确的 如父子 同事 大于 包含等关系 许多则是界限不明确的关系 如朋友关系 身高与体重之间的关系 两个人的相像关系 近似相等 远远大于等 对于这类关系用简单的 肯定 或 否定 即用 1 或者 0 来刻画显然是不合适的 模糊关系将关系的值域扩充为 0 1 从而引入了模糊关系的概念 模糊关系 例4 有限论域上的模糊关系 例5 例6 身高与体重之间的关系为 模糊关系的运算 将矩阵乘法中乘积改为取小 加改为取大 模糊关系的合成 特殊模糊关系 自反关系 主对角线上元素全为1 对称关系 矩阵为对称阵 传递关系 R为传递关系 相似关系 自反 对称 等价关系 自反 对称 传递 特殊模糊关系 模糊数学应用 模糊数学有哪些实际应用 模糊模式识别 模糊聚类分析 模糊综合评判 模式 供模仿用的标本 模式识别 判定给定的事物与哪个标本相同或相近 声音识别 文字识别 图象识别 景物识别等 模糊模式识别 标本或待识别的事物具有模糊性时 利用模糊数学方法处理模式识别问题 1 模糊模式识别 模型识别在实际问题中是普遍存在的 例如 学生到野外采集到一个植物标本 要识别它属于哪一纲哪一目 投递员 或分拣机 在分拣信件时要识别邮政编码等等 这些都是模型识别 模糊模式识别 模式识别方法 最大隶属原则 直接 用于个体的识别 择近原则 间接 用于群体的识别 个体模糊模式识别 问题 最大隶属原则 例7 35岁应相对属于中年人 例8细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别 而几何图形常常化为若干个三角图形 故设论域为三角形全体 即X A B C A B C 180 A B C 标准模型库 E 正三角形 R 直角三角形 I 等腰三角形 I R 等腰直角三角形 T 任意三角形 某人在实验中观察到一染色体的几何形状 测得其三个内角分别为94 50 36 即待识别对象为x0 94 50 36 问x0应隶属于哪一种三角形 先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数 直角三角形的隶属函数R A B C 应满足下列约束条件 1 当A 90时 R A B C 1 2 当A 180时 R A B C 0 3 0 R A B C 1 因此 不妨定义R A B C 1 A 90 90 则R x0 0 955 正三角形的隶属函数E A B C 应满足下列约束条件 1 当A B C 60时 E A B C 1 2 当A 180 B C 0时 E A B C 0 3 0 E A B C 1 因此 不妨定义E A B C 1 A C 180 则E x0 0 677 等腰三角形的隶属函数I A B C 应满足下列约束条件 1 当A B或者B C时 I A B C 1 2 当A 120 B 60 C 0时 I A B C 0 3 0 I A B C 1 因此 不妨定义I A B C 1 A B B C 60 则I x0 0 766 等腰直角三角形的隶属函数 I R A B C I A B C R A B C I R x0 0 766 0 955 0 766 任意三角形的隶属函数T A B C Ic Rc Ec I R E c T x0 0 766 0 955 0 677 c 0 955 c 0 045 通过以上计算 R x0 0 955最大 所以x0应隶属于直角三角形 阈值原则 贴近度 群体模式识别 内积 外积 相关定义 称为A B的格贴近度 格贴近度计算举例 择近原则 问题 群体模糊模式识别 类型 例9 小麦亲本识别 小麦的类型及 各类小麦对应的参数如下 解 根据择近原则 A应为早熟型 茶叶等级识别 茶叶分为I II III IV V种 识别为哪一种 I 0 5 0 4 0 3 0 6 0 5 0 4 II 0 3 0 2 0 2 0 1 0 2 0 2 III 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 2 IV 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 1 V 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 例10 算法演示 II 0 3 0 2 0 2 0 1 0 2 0 2 利用贴近度得由此可得A为I型茶叶 2 模糊聚类分析 根据一些指标通过模糊数学方法对事物进行分类 问题 模糊聚类分析方法 绝对值减数法 例11 环境单元分类 每个环境单元包括空气 水分 土壤 作物 四要素 环境单元的污染状况由污染物在四 要素中含量的超限量来描述 现设有五个环 境单元 它们的污染数据如下 空气 水分 土壤 作物 单元 要素 全体归为一类 3 模糊综合评判数学模型根据多个因素对事物进行评定 称为综合评判 在日常生活中 当要对某种东西作出好 较好 不好等评价时 常常感到不易判断 因为这是一个模糊的概念 同时涉及的因素很多 如果运用模糊数学的方法 将可以较好地解决这个问题 解决此类问题的方法叫模糊综合评判 模糊综合评判 已知 问题 综合考虑 求解 服装销售模型 设因素集U 花色式样 耐穿程度 价格费用 决断集V 很欢迎 欢迎 不太欢迎 不欢迎 这是一个多因素的评判问 先解决单因素评判 以花色式样为例 设有20 的人很欢迎 有70 的比较欢迎 10 的人不太欢迎 没有人不欢迎 便可得出决断集R1 0 2 0 7 0 1 0 类似地可设 耐穿程度决断集R2 0 0 4 0 5 0 1 价格费用决断集R3 0 2 0 3 0 4 0 1 例12 由以上三个单因素决断集构成一个矩阵R 不同的顾客 对各种因素考虑的权重也不同 如年青人注重花色式样 而中老年人则注重价格 耐穿程度 因此 要准确地对服装进行评判 应考虑权重问题 设某类顾客对因素集的权重确定如下 花色式样 0 6 耐穿程度 0 5 价格费用 0 3 即a 0 6 0 5 0 3 这里没有把三个权重的和取为1 在许多情况下可取权重和为1 由此可得此类顾客对该服装的综合评判为归一化后b 0 143 0 428 0 357 0 072 由b值知 顾客很欢迎的占14 3 比较欢迎的占42 8 不太欢迎的占35 7 不欢迎的占7 2 服装制造厂可根据顾客的态度来确定安排生产此类服装 若已知 求 即按择近原则 选出一组比较理想的权数分配方案设为上的一组模糊集 再分别求出 若有 使 则认为 是 的最佳权重 综合评判的逆问题 假如例12中事先知道b而不是a 通过调查很容易掌握顾客对某种服装的态度 而不知道顾客对于服装的花色式样 耐穿程度和价格费用所取的权重 要由综合评价b反过来确定权重a 这就是综合评判的逆问题 设b 0 0 8 0 2 0 又设权重的选择有三种可能 其中a1 0 2 0 5 0 3 a2 0 5 0 3 0 2 a3 0 2 0 3 0 5 那么a1 a2 a3中谁最接近顾客的意见呢 为此我们分别计算再算 贴近度 用格贴近度 NNN根据择近原则 取比较接近此类顾客的意见 电脑综合评判 某同学想购买一台电脑 他关心电脑的以下几个指标 运算功能 数值 图形等 存储容量 内 外存 运行速度 CPU 主板等 外设配置 网卡 调制调解器 多媒体部件等 价格 于是请同宿舍同学一起去买电脑 为了数学处理简单 先令 例13 运算功能 数值 图形等 存储容量 内 外存 运行速度 CPU 主板等 外设配置 网卡 调制调解器 多媒体部件等 价格 称 因素集 评语集 其中 很受欢迎 较受欢迎 不太受欢迎 不受欢迎 任选几台电脑 请同学和购买者对各因素进行评价 若对于运算功能有20 的人认为是 很受欢迎 50 的人认为 较受欢迎 30 的人认为 不太受欢迎 没有人认为 不受欢迎 则的单因素评价向量为 同理