高一数学同步练习(2.1、2.2指数函数、对数函数)(教师版).doc

高一数学同步练习必修一第二章基本初等函数（I）2.1、2.2指数函数、对数函数A、基础知识：一、指数和指数函数（一）根式、指数幂的运算1、如果存在实数x，使得，则x叫做a的n次方根。其中n1，且nN*负数没有偶次方根。 2、分数指数幂正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定： 0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_3、幂的运算性质_； _；_； _；（二）指数函数函数1指数函数： 叫做指数函数，其中是自变量.2指数函数的图象和性质： yaxa10a1图象定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)x0时，0y1x0时，y1.在(，)上是增函数当x0时，0y1；当x0时，y1；在(，)上是减函数时，图象像一撇，且在轴左侧越大，图象越靠近轴(如图)；时，图象像一捺，且在轴右侧越小，图象越靠近轴(如图)；与的图象关于轴对称(如图). 图 图 图3主要方法：（1）指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解；(2)确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；(3)要注意运用数形结合思想解决问题.二、对数和对数函数1对数的概念(1)对数的定义如果axN(a0且a1)， xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数：一般对数：；常用对数（以10为底）；自然对数（以e为底）2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质0和负数无对数；（以上各式中a0且a1)(2)对数的重要公式换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logablogbclogcdlogad.(3)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.3对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，)值域：R过点(1,0)当x1时，y0当0x1，y0当x1时，y0当0x1时，y0是(0，)上的增函数是(0，)上的减函数4.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称B、考点解析：考点一指数、对数式的计算【例1.1】求值：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式【例1.2】求值：(1)； (2)(lg 5)2lg 50lg 2； (3)lg lg lg .审题视点 运用对数运算法则及换底公式解(1)原式.(2)原式(lg 5)2lg(105)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)法一原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5(lg 2lg 5)lg 10.法二原式lglg 4lg(7)lglg.【训练1】1（2011四川）计算 .(2)若2a5b10，求的值 （3)若xlog341，求4x4x的值（4）若，则_（5）（05年全国卷1）若正整数满足，则_（）解析：（1） (2)由已知alog210，blog510，则lg 2lg 5lg 101.(3)由已知xlog43，则4x4x4log434log433.（4）由（5）不等式两边同取10为底的对数，得， 155对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化考点二比较指数式、对数式的大小【例2】（1）比较下列各组数的大小，（2）若，则A.B. C. D. （3）已知函数，比较，解析：（1）对于与，对应指数函数为减函数，且，对于与，对应幂函数为增函数，且，即比较，答案：在同一坐标系中作出和的图象，再进行比较，（2）先由小于0，知再在同一坐标系中作出和的图象，再进行比较（3）作的图象，知，函数在（0，1）为减函数，在为增函数又，答案（1）比较两个指数幂的大小：若“底同指不同”用指数函数的单调性比较大小；若“指同底不同”用幂函数的单调性比较大小（2）计较两个对数式的大小：若“底同真不同”直接用对数函数的单调性比较大小若“真同底不同”利用函数图象予以比较若“底数真数都不同”取中间值0或1比较大小含有对称轴（或绝对值）且自变量不在同一单调区间的，要转化到同一单调区间，在予比较（3）对数函数的图象规律：若，则底数越大图象越靠近轴；若，则底数越小图象越靠近轴；指数函数的图象规律：若，则底数越大图象越靠近轴；若，则底数越小图象越靠近轴；【训练2】（1）如图为指数函数，的图象，则A.B. C. D. 解：过作轴的垂线，分别与图象相交，其交点的纵坐标由下而上依次是.选B（2）如图为对数函数，的图象，则A.B. C. D. 解：过作轴的垂线，分别与图象相交，其交点的横坐标由左到右依次是.选C（3）【2012高考重庆文7】已知，则a,b,c的大小关系是（A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】，则（4）(2010全国)设alog32，bln 2，则()Aabc Bbca Ccab Dcba解析法一alog32，bln 2，而log23log2e1，所以ab，c5，而2log24log23，所以ca，综上cab，故选C.法二alog32，bln 2，1log2elog232，1；c5，所以cab，故选C. 答案C考点三指数函数、对数函数的性质（定义域、值域、单调性，奇偶性）【例3】（1）求下列函数的定义域和值域解：定义域：，定义域为（1，1）值域：令，则复合函数的内层函数是，外层函数是.函数定义域为，内层函数的值域是，此为外层函数的定义域的值域是，原函数的值域是.定义域：值域：内层函数是，外层函数是，当时，内层函数的值域是，函数的值域是（2）求函数的单调区间解：函数的定义域是，令，则内层函数：，外层函数：内层函数在（1，1）增，在（1，3）减，而外层函数是增函数，函数在（1，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数。（3）已知函数，讨论函数的奇偶性解：函数的定义域：比较与的大小：当时，定义域为当时，定义域为具有奇偶性的条件是定义域区间关于原点对称， 当时，有，为奇函数当时，定义域区间不关于原点对称，为非奇非偶函数（1）求复合函数的值域：先求内层函数的值域，并把它作为外层函数的定义域，再求外层函数的值域。（2）求复合函数的单调区间的一般步骤是（1）求函数的定义域；（2）用换元法把复合函数分解成常见基本函数，并分出“内层”、“外层”；（3）分别判断内层、外层函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则确定复合函数的单调性。【训练3】（1）已知函数f(x)x3(a0且a1)求函数f(x)的定义域； 讨论函数f(x)的奇偶性；求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解由于ax10，即ax1，所以x0.函数f(x)的定义域为x|xR，且x0对于定义域内任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3 x3f(x)，f(x)是偶函数当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x30，x30，即当x0时，f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)， 则当x0时，x0，有f(x)f(x)0成立综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a1时，f(x).当x0时，1ax0，ax10， ax10，x30，此时f(x)0，不满足题意；当x0时，x0，f(x)f(x)0，也不满足题意综上可知，所求a的取值范围是a1.（2）已知f(x)log4(4x1)求f(x)的定义域； 讨论f(x)的单调性； 求f(x)在区间上的值域解由4x10解得x0， 因此f(x)的定义域为(0，)设0x1x2，则04x114x21， 因此log4(4x11)log4(4x21)，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上递增f(x)在区间上递增，又f0，f(2)log415，因此f(x)在上的值域为0，log415（3）（07年天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是A.B.C. D. 解：令，则若，内层函数是增函数，由题意在区间上是增函数，且外层应为增函数。而外层函数，的增函数区间是，由于，应有，前提条件，故舍去。若，内层函数是减函数，由题意在区间上是增函数，且外层应为减函数。而外层函数，的减函数区间是，由于，应有，前提条件，故选B。考点四指数函数、对数函数的性质的应用（解不等式，求参数的范围，最值等）【例4】（1）已知函数f(x)loga(2ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在0,1上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围审题视点 a0且a1，问题等价于在0,1上恒有.解a0，且a1， u2ax在0,1上是关于x的减函数又f(x)loga(2ax)在0,1上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，且对x0,1时，u2ax恒为正数其充要条件是，即1a2. a的取值范围是(1,2)（2）已知函数的反函数为。求若，且，求的取值范围D设，当时，求的值域解；，反函数，令，在是增函数，于是的值域是，故的值域是【训练4】（1）设a0且a1，函数有最小值，则不等式的解集为_解：定义域为R，内层函数有最小值，。（2）若，则的取值范围是_解：同一坐标系中作与的图象，由图象得（3）函数的最大值比最小值大1，则_解：当时，最大值是，最小值是，由当时，最大值是，最小值是，由考点五指数函数、对数函数的图象及其应用【例5】已知方程10x10x，lg xx10的实数解分别为和，则的值是_解析作函数yf(x)10x，yg(x)lg x，yh(x)10x的图象如图所示，由于yf(x)与yg(x)互为反函数，它们的图象是关于直线yx对称的又直线yh(x)与yx垂直，yf(x)与yh(x)的交点A和yg(x)与yh(x)的交点B是关于直线yx对称的而yx与yh(x)的交点为(5,5)又方程10x10x的解为A点横坐标，同理，为B点横坐标5，即10. 答案10【训练5】（1）(2009山东)函数y的图象大致为()审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性解析y1，当x0时，e2x10且随着x的增大而增大，故y11且随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减，又函数y是奇函数，故选A.答案A（2）【2012高考四川文4】函数的图象可能是（ ）【答案】【解析】当时单调递增，故A不正确；因为恒不过点，所以B不正确；当时单调递减，故C正确 ；D不正确.自我检测题一、选择题1.设函数的定义域是1，1，则的定义域是A.B. C. D. 2.函数在区间上的最大值与最小之和为，则的值为A. B. C.2D.4【解析】与的单调性一致，最大值与最小值之和为解之，选B3.【2012高考安徽文3】（）（4）=（A） （B） （C）2 （D）4【答案】D【解析】。4.【2012高考新课标文11】当0x时，4xlogax，则a的取值范围是 （A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)【答案】B【解析】当时，显然不成立.若时当时，此时对数，解得，根据对数的图象和性质可知，要使在时恒成立，则有，如图选B.5.【2012高考全国文11】已知，则（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】，所以，选D.6. (2012年高考广东卷理科4)下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是A.y=ln（x+2） B.y= C.y=（）x D.y=x+7.函数的值域为A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，故选A。8.若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为A. B. C. D. 【解析】函数定义域为或。由得内层函数，在（0，1）时 恒成立，外层函数为减函数，于是须在定义域范围内求内层函数的减函数区间，故选D9.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选C注意 的图象是由的图象右移1而得本题考查函数图象的平移法则10.已知函数,若,且,则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b,从而错选B,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,由知a=b应舍去，由函数图象知，所以a+2b=又0ab,所以0a1f(1)=1+=3,即a+2b的取值范围是(3,+).二、填空题1.（2010四川）2log510log50.25_解析：2log510log50.25log5100log50.25log5252答案：22.【2012高考山东文15】若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.【答案】【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意.3.【2102高考北京文12】已知函数，若，则_。【答案】2【解析】因为，所以，所以。4.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是_【答案】（-1，0）（1,+【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。5(200